Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 60
Em quais pontos a reta normal que passa pelo ponto no elipsoide intercepta a esfera ?
Passo 1
A questão fornece um elipsoide e pede para acharmos onde a reta normal a essa superfície no ponto intercepta a esfera . Para isso, o primeiro passo é achar a equação dessa reta normal!
Para resolver isso vamos o seguinte truque: podemos interpretar o paraboloide como a superfície de nível da seguinte função de três variáveis:
Como o gradiente dessa função é orotogonal às superfícies de nível, ele será o vetor diretor da reta normal! Tomando o gradiente:
No ponto :
Como só estamos interessados na direção do gradiente, vamos usar
Assim, a equação da reta será
Portanto,
Passo 2
Da equação da reta, tiramos
Como queremos achar a interseção dessa reta com a esfera, vamos substituir essas equação na equação da esfera:
Logo,
Portanto,
Resolvendo essa equação pela fórmula de Báskara:
Obtemos então duas soluções:
Assim, para :
Já para :
Portanto, temos duas soluções possíveis para o problema:
Resposta
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