Enunciado

Uma população de protozoários se desenvolve a uma taxa de crescimento relativa constante de 0,6028 por membro por dia. No dia zero, a população consistia em dois membros. Encontre o tamanho da população depois de sete dias.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o tamanho da população de protozoários depois de 7 dias, sabendo que essa população se desenvolve a uma taxa de crescimento constante de 0,6028 por membro por dia e que no dia zero, a população tinha apenas dois membros.

Observe que nós temos um problema com taxa de crescimento relativa, que é a taxa de crescimento dividida pela população. Se chamarmos P ( t ) a população de protozoários em função do tempo ( t ) em dias e sendo k a taxa de crescimento relativa, teremos:

k = P ' t P t

Que também pode ser escrita como:

d P d t = k P

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo y t = y 0 e k t . No nosso caso, se a população no tempo 0 for P 0 , teremos:

P t = P 0 e k t

Então, o que nós vamos fazer é identificar as variáveis do problema e substituir na equação, para t = 7 . Vamos lá!

Passo 2

O enunciado já nos deu a taxa de crescimento relativa, então temos:

k = 0,6028

Além disso, como o valor inicial da população é de dois membros, usando a equação P t = P 0 e k t , em t = 0 , temos:

P ( t ) = 2 e 0,6028 ∙ 0

P ( t ) = 2

E depois de sete dias, com t = 7 , teremos:

P 7 = 2 e 0 , 6028 7

P 7 = 68,0063

Isso significa que após sete dias, a população de protozorário é aproximadamente 68 membros.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A p ó s   s e t e   d i a s   a   p o p u l a ç ã o   d e   p r o t o z o á r i o s   é   d e   a p r o x i m a d a m e n t e   68   m e m b r o s .

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