Enunciado

Encontre f .

f^(' ' ') (x) = cos x , f (0) = 1 , f^' (0) = 2 , f^(' ') (0) = 3

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ' ') ( x ) . Para isso, utilizaremos as regras de derivação de funções trigonométricas, ficando com

f^(' ' ') (x) = cos x

f^(' ') (x) = s e n x + C

Derivando f ' ' ( x ) , temos

f^(' ' ') (x) = cos x

Dessa forma, f^(' ') ( x ) é a antiderivada de f^(' ' ') ( x ) .

Encontrando agora a antiderivada de f^(' ') ( x ) , temos

f^(' ') (x) = s e n x + C

f^' ( x ) = - cos x + C x + D

Derivando f ' ( x ) , temos

f^(' ') (x) = s e n x + C

Dessa forma, f ' ( x ) é a antiderivada de f^(' ') ( x ) .

Encontrando agora a antiderivada de f^' ( x ) , temos

f^' ( x ) = - cos x + C x + D

f (x) = - s e n x + (C)/(2) x^2 + D x + E

Derivando f ( x ) , temos

f^' ( x ) = - cos x + C x + D

Dessa forma, f ( x ) é a antiderivada de f^' ( x ) .

Passo 3

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C , D e E. Aplicando f^(' ') (0) = 3 , temos

f^(' ') (x) = s e n x + C

f^(' ') (0) = s e n 0 + C

C = 3

Aplicando f^' (0) = 2 , temos

f^' ( x ) = - cos x + C x + D

f^' ( 0 ) = - cos 0 + 3 ( 0 ) + D

D = 3

Aplicando f (0) = 1 , temos

f (x) = - s e n x + (C)/(2) x^2 + D x + E

f (0) = - s e n 0 + (3)/(2) ( 0 )^2 + 3 ( 0 ) + E

E = 1

Resposta

f (x) = - s e n x + (3)/(2) x^2 + 3 x + 1

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