Enunciado

Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular.

x 2 + x - 6 y ' ' + x + 3 y ' + x - 2 y = 0

Passo 1

E aíí meu caro amigo, vamos lá?

Antes, vamos lembrar que nossa equação pode ser escrita assim:

a 2 ( x ) y ' ' + a 1 ( x ) y ' + a 0 ( x ) y = 0

E que P x = a 1 x a 2 ( x ) e Q x = a 0 x a 2 ( x )

Para que x = x 0 seja um ponto singular regular, x - x 0 deve ter multiplicidade menor ou igual a 1 no denominador de P ( x ) e menor ou igual a 2 no denominador de Q ( x )

Então vamos lá!

Passo 2

Pra começar, vamos encontrar os pontos singulares, e aí depois vamos classificar em regulares ou irregulares.

Temos um ponto singular em:

x 2 + x - 6 = 0

x = 2 ,   x = - 3

E:

x + 3 = 0

x = - 3

E também em:

x - 2 = 0

x = 2

Então, temos 2 pontos singulares: 2 ,   - 3 . Vamos lá classificar

Passo 3

Na nossa equação, temos

P x = x + 3 x 2 + x - 6 = x + 3 x - 2 . ( x + 3 ) = 1 x - 2

Q x = x - 2 x 2 + x - 6 = x - 2 x - 2 . ( x + 3 ) = 1 x + 3

x = 2 : multiplicidade 1 em P ( x ) e 0 em Q ( x ) : regular

x = - 3 : multiplicidade 0 em P ( x ) e 1 em Q ( x ) : regular

Resposta

S i n g u l a r   r e g u l a r : x = 2 ,   - 3

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