Enunciado

Usando o resultado do Problema 12, mostre que a solução geral da equação de Airy

y ″   –   x y   =   0 , x   >   0

É y = x 1 / 2 c 1 f 1 2 3 i x 3 2 + c 2 f 2 2 3 i x 3 2   ,em que f 1 ( ξ ) e f 2 ( ξ ) formam um conjunto fundamental de soluções da equação de Bessel de ordem um terço.

Passo 1

Se definirmos α = 2 3 i ; β = 3 2 e v = 1 / 3 e substitua esses valores na equação.

x 2 y ' ' + ( α 2 β + 1 4 - v 2 β 2 ) y = 0 ,   x > 0 2 x 2 β

Do Problema 12, obtemos a equação Airy:

x 2 y ' ' + - 4 9 . 9 4 x 3 + 1 4 - 1 9 . 9 4 y = x 2 y ' ' - x 3 y = x 2 y ' ' - x y = 0

Se x > 0 :

y ' ' - x y = 0

Portanto, uma solução da equação Airy é dada por y = x 1   2 f ( 2 3 i x 3 2 ) onde f ( ξ ) é uma solução da equação de Bessel de ordem um terço. Se y 1 = x 1 2 f 1 ( 2 3 i x 3 2 ) e y 2 = x 1 2 f 2 ( 2 3 i x 3 2 ) são duas soluções do Airy equação com f 1 e f 2 formando um conjunto fundamental de soluções da equação de Bessel de ordem de um terço, então, por definição, o Wronskiano de f 1 e f 2 é diferente de zero.

W f 1 , f 2 = f 1 f 2 ' - f 2 f 1 ' ≠ 0

Passo 2

Pelo Teorema 3.2.4, y = x 1 2 [ c 1 f 1 ( 2 3 i x 3 2 ] é a solução geral da equação Airy se e somente se o Wronskiano de y 1 e y 2 for diferente de zero. Calculamos o Wronskiano:

W y 1 , y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

= x 1 2 f 1 ( 2 3 i x 3 2 )   x 1 2 f 2 ( 2 3 i x 3 2 1 2 x - 1 2 f 1 2 3 i x 3 2 + i x f 1 ' 2 3 i x 3 2 1 2 x - 1 2 f 2 2 3 i x 3 2 + i x f 2 ' 2 3 i x 3 2

= x 1 2 f 1 2 3 i x 3 2 1 2 x - 1 2 f 2 2 3 i x 3 2 + i x f 2 ' 2 3 i x 3 2 -   x 1 2 f 2 ( 2 3 i x 3 2 1 2 x - 1 2 f 1 2 3 i x 3 2 + i x f 1 ' 2 3 i x 3 2

= i x 3 2 f 1 2 3 i x 3 2 f 2 ' 2 3 i x 3 2 - f 1 ' ( 2 3 i x 3 2 f 2 2 3 i x 3 2

Ou seja, devido a x > 0 e ( 1 ) , diferente de zero

Resposta

Wronskiano diferente de zero.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 13-16, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências em torno do ponto ordinário x=0.16. y’’-x²y’+xy = 0
Nos problemas 17-22, encontre duas soluções linearmente independentes para cada equação.21. xy’’ – (2x-1)y’ + (x-1) y = 0
Use o método de Frobenius para obter uma solução para a equação de Bessel xy’’+y’+xy=0.
Nos problemas 13-16, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências em torno do ponto ordinário x=0.14. y’’-4y=0
Nos problemas 17-22, encontre duas soluções linearmente independentes para cada equação.18. 2xy’’+y’+y = 0