Enunciado

Para cada uma das equações diferenciais nos problemas de 11 a 14, encontre os quatro primeiros termos não nulos em cada uma de duas soluções em série em torno da origem. Mostre que elas formam um conjunto fundamental de soluções. Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?

y ' ' sen ⁡ x y = 0

Passo 1

Assumimos que a solução está na forma:

y = ∑ n = 0 + ∞ a n x n

y ' = ∑ n = 1 + ∞ n a n x n - 1

y ' ' = ∑ n = 2 + ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Aplicando na EDO, teremos:

∑ n = 2 + ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 + sen ⁡ x ∑ n = 0 + ∞ a n x n = 0

Relembrando que a série de Taylor de sen ⁡ x   quando x = 0 é dada por:

x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + …

Substituindo os valores de x , teremos:

2 a 2 + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + 20 a 5 x 3 + 30 a 6 x 4 + 42 a 7 x 5 + … + x - x 3 2 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + … a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 + … = 0

Expandindo e unindo os termos em comum , teremos:

2 a 2 + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + 20 a 5 x 3 + 30 a 6 x 4 + 42 a 7 x 5 + … + a 0 x + a 1 x 2 + a 2 - 1 6 a 0 x 3 + a 4 - 1 6 a 2 + 1 120 a 0 x 5 = 0  

Unino os termos em comum antes e depois da igualdade, formulamos:

2 a 2 = 0

a 0 + 6 a 3 = 0

a 1 + 12 a 4 = 0

a 2 - 1 6 a 0 + 20 a 5 = 0

a 3 - 1 6 a 1 + 30 a 6 = 0

a 4 - 1 6 a 2 + 1 120 a 0 + 42 a 7 = 0

Passo 2

Para encontrar y 1 ( x ) , resolvemos as equações acima e assumimos que a 0 = 1 ,   a 1 = 0 resolvendo as equações:

2 a 2 = 0 ,   a 2 = 0

0 + 12 a 4 = 0 ,   a 4 = 0

0 - 1 6 + 20 a 5 = 0 ; a 5 = 1 120

- 1 6 - 0 + 30 a 6 = 0 ; a 6 = 1 180

Já que 4 termos diferentes de zero podemos dizer que :

y 1 x = 1 - 1 6 x 3 + 1 120 x 5 + 1 180 x 6 + …

Para encontrar y 2 ( x ) resolvendo as equações e assumindo que a 0 = 0 , a 1 = 1 resolvendo as equações:

2 a 2 = 0 ,   a 2 = 0

1 + 12 a 4 = 0 ; a 4 = - 1 12

0 - 0 + 20 a 5 = 0 ; a 5 = 0

- 1 6 - 0 + 30 a 6 = 0 ; a 6 = 1 180

- 1 12 - 0 + 0 + 42 a 7 = 0 ; a 7 = 1 504

Então, podemos dizer que:

y 2 x = x - 1 12 x 4 + 1 180 x 6 + 1 504 x 7 + …

Passo 3

Com isso, podemos avaliar o Wronskiano:

Tendo y 1 e y 2 , queremos um valor em que o Wronskiano seja diferente de zero, para isso o caso mais simples é que a diagonal principal seja unitária e a diagonal secundária seja nula, para isso:

y 1 x = 1 - 1 6 x 3 + 1 120 x 5 + 1 180 x 6 + … y 1 0 = 1

y 1 ' x = - 1 2 x 2 + 1 24 x 4 + 1 30 x 5 + … y 1 ' 0 = 0

y 2 x = x - 1 12 x 4 + 1 180 x 6 + 1 504 x 7 + … y 2 0 = 0

y 2 ' 0 = 1 - 1 3 x 3 + 1 30 x 5 + 1 72 x 6 + … y 2 ' 0 = 1

Com isso, podemos montar o Wronskiano:

W y 1 , y 2 0 = y 1 ( 0 ) y 2 ( 0 ) y 1 ' ( 0 ) y 2 ' ( 0 ) = 1 0 0 1 = 1 ≠ 0

Já que o Wronskiano não é nulo, temos um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

Uma vez que P ( x ) = 1 não é igual a zero para todos os valores de raio de convergência das soluções x é p   =   ∞ .

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