Enunciado

Nos problemas 11-16, resolva a equação de Ricatti dada; y 1 é uma solução conhecida para a equação.

14. d y d x = 2 x 2 + 1 x y - 2 y 2 ,   y 1 = x

Passo 1

Então pessoal, inicialmente precisamos responder: o que é uma equação de Ricatti? Esse tipo de equação apresenta o seguinte formato:

d y d x = P x + Q x y + R x y 2

Para resolve-la devemos fazer uma substituição, ok? Sabendo que y 1 é uma solução particular dessa equação, então as substituições abaixo são válidas, olha só:

y = y 1 + u

d y d x = d y 1 d x + d u d x

O objetivo aqui é fazer essas substituições para reduzir a equação à uma equação de Bernoulli, conforme discutimos em exercícios passados. Sim, a solução desse tipo de equação é longa, mas tendo atenção dá pra resolver com facilidade!

Passo 2

Nossa equação é a seguinte:

d y d x = 2 x 2 + 1 x y - 2 y 2

Sabendo que y 1 = x , então nossa substituição será:

y = x + u

Derivando, teremos:

d y d x = 1 + d u d x

Agora substituindo na nossa equação original, teremos:

1 + d u d x = 2 x 2 + 1 x x + u - 2 x + u 2

Simplificando:

d u d x = 2 x 2 - 1 + 1 + 1 x u - 2 x 2 - 4 x u - 2 u 2

d u d x = 1 x u - 4 x u - 2 u 2

d u d x = 1 x - 4 x u - 2 u 2

d u d x - 1 x - 4 x u = - 2 u 2

Conseguimos o que queríamos, que era encontrar uma equação diferencial de Bernoulli. Show!

Passo 3

Fazendo a substituição:

w = u 1 - n = u 1 - 2

w = u - 1 ⇒ u = w - 1

Derivando em relação a x , obteremos:

d u d x = - w - 2 . d w d x

Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:

d u d x - 1 x - 4 x u = - 2 u 2

- w - 2 . d w d x - 1 x - 4 x w - 1 = - 2 w - 2

Simplificando:

- d w d x - 1 x - 4 x w = - 2

d w d x + 1 x - 4 x w = 2

E então tiramos que:

P x = 1 x - 4 x

Q x = 2

Passo 4

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

w = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

w = e - ∫ 1 x - 4 x d x . 2 ∫ e ∫ 1 x - 4 x d x d x + c

Para a integral do expoente, teremos:

∫ 1 x - 4 x d x = ln ⁡ x - 2 x 2

Substituindo na solução geral:

w = e - ln ⁡ x - 2 x 2 . 2 ∫ e ln ⁡ x - 2 x 2 d x + c

w = 1 x e 2 x 2 . 2 ∫ x e 2 x 2 d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ x e 2 x 2 d x

Para resolver essa integral precisamos fazer uma substituição simples, que será:

u = 2 x 2

d u = 4 x d x

Substituindo:

1 4 ∫ e - u d u = - 1 4 e - u

Voltando para x :

∫ x e 2 x 2 d x = - 1 4 e - 2 x 2

Substituindo na solução novamente:

w = 1 x e 2 x 2 . 2 . - 1 4 e - 2 x 2 + c

w = 1 x e 2 x 2 . - 1 2 e - 2 x 2 + c

∴ w = - 1 2 x + c e 2 x 2 x

Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo.

Passo 5

O resultado que encontramos está como w x e queremos o resultado como u x , certo? Lá no passo 3 a substituição que fizemos foi:

w = u - 1 ⇒ u = w - 1

Voltando para a variável u , teremos:

u - 1 = - 1 2 x + c e 2 x 2 x

∴ u = - 1 2 x + c e 2 x 2 x - 1

E, finalmente, voltando para y , teremos:

y - x = - 1 2 x + c e 2 x 2 x - 1

∴ y = - 1 2 x + c e 2 x 2 x - 1 + x

E esse é nosso resultado! 😉

Resposta

y = - 1 2 x + c e 2 x 2 x - 1 + x

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