Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

45. y ' + tan ⁡ x y = c o s 2 x , no qual y 0 = - 1 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

y ' + tan ⁡ x y = c o s 2 x

Como queremos escrever no formato:

d y d x + P . y = Q

Teremos:

d y d x + tan ⁡ x y = c o s 2 x

E então tiramos que:

P x = tan ⁡ x

Q x = c o s 2 x

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e - ∫ tan ⁡ x d x . ∫ e ∫ tan ⁡ x d x . c o s 2 x d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ tan ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x

Substituindo:

y = e - ln ⁡ sec ⁡ x . ∫ e ln ⁡ sec ⁡ x . c o s 2 x d x + c

Utilizando essa propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

y = cos ⁡ x . ∫ 1 cos ⁡ x . c o s 2 x d x + c

Simplificando:

y = cos ⁡ x . ∫ cos ⁡ x d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ cos ⁡ x d x

O bom é que essa integral tem valor definido, saca só:

∫ cos ⁡ x d x = s e n   x

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = cos ⁡ x . ∫ cos ⁡ x d x + c

y = cos ⁡ x . s e n   x + c

y = cos ⁡ x . s e n   x + c . cos ⁡ x

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é y 0 = - 1 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

- 1 = cos ⁡ 0 .   s e n   0 + c . cos ⁡ 0

∴ c = - 1

E então o resultado final mesmo será esse:

y = cos ⁡ x . s e n   x - cos ⁡ x

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = cos ⁡ x . s e n   x - cos ⁡ x

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