Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y 2 + y x d x + x 2 d y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

y 2 + y x d x + x 2 d y = 0

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

y 2 + y x d x + x 2 d y = 0

u 2 x 2 + u x ⋅ x d x + x 2   u   d x + x   d u = 0

u 2 x 2   d x + u x 2 d x + u x 2 d x - x 3 d u = 0

u 2 d x + 2 u   d x - x d u = 0

u 2 + 2 u d x = x   d u

d x x = d u u 2 + 2 u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ d u u 2 + 2 u

ln ⁡ | x | = - 1 2 l n u + 2 + 1 2 ln ⁡ u + C

ln ⁡ x = ln ⁡ u u + 2 1 / 2 + C

ln ⁡ x u u + 2 1 2 = C

e ln ⁡ x u u + 2 1 2 = e C

x u u + 2 1 2 = C 1

x 2 u + 2 u = C 2

Como y = u x , temos u = y x :

x 2 y x + 2 y x = C 2

x 2 y = C 2 ( y + 2 x )

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

x 2 y = C 2 ( y + 2 x )

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