Enunciado

Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

x y 2 d y d x = y 3 - x 3 ,   y 1 = 2

Passo 1

Opa, tudo beleza? Bora resolver essa equação!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. A gente pode fazer y = u x     o u     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

x y 2 d y d x = y 3 - x 3

x y 2 d y = y 3 - x 3 d x

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x 3 u 2 u   d x + x   d u = u 3 x 3 - x 3 d x

x 3 u 3 d x + x 4 u 2 d u = u 3 x 3 d x - x 3 d x

x u 2 d u = - d x

u 2 d u = - d x x

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ - d x x = ∫ u 2 d u

- ln ⁡ x = u 3 3 + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | + y 3 3 x 3 = C

3 x 3 ln ⁡ | x | + y 3 = c 1 x 3

Bom, chegamos a solução geral, mas a gente tem um problema de valor inicial, então temos que usar pra descobrir esse c 1 aí...

Passo 4

Bom, temos que y 1 = 2 , então vamos substituir isso na equação:

3 x 3 + y 3 = c 1 x 3

3 1 3 ln ⁡ 1 + y 1 3 = c 1 1 3

0 + 2 3 = c 1

c 1 = 8

Então a solução da equação é:

3 x 3 ln ⁡ | x | + y 3 = 8 x 3

Prontinho! 😉

Resposta

3 x 3 ln ⁡ | x | + y 3 = 8 x 3

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