Lista de Exercícios Resolvidos de EDO Homogênea

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Resolva a seguinte equação diferencial

b)

d y d x = x 2 + 3 y 2 2 x y

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Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade se for o caso.

x 3 + 2 x y 2 - y 4 x

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Determine a solução da equação

x y ' = y + 2 x e - y / x

Que satisfaz a condição inicial

y 1 = 2

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Resolva a equação diferencial

y + 2 x y - x d y d x = 0  

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Considere a equação da forma

d y d x = F q x + b y + c A x + B y + C

Onde a , b , c , A , B , C são constantes reais.

  1. Quando a B - A b ≠ 0 , pode-se reduzir essa equação em uma equação homogênea nas variáveis z e w se z = x - h e w = y - k , onde h e k são soluções do sistema linear.
  2. a x + b y + c = 0 A x + B y + C = 0

  3. Quando a B - A b = 0 e a e b não simultaneamente nulos, pode-se reduzir essa equação em uma equação de variáveis separáveis nas variáveis x e z , se fizermos a substituiç��o z = a x + b y
  4. Quando a B - A b = 0 e A e B não simultaneamente nulos, pode-se reduzir essa equação em uma equação de variáveis separáveis nas variáveis x e z , se fizermos a substituição z = A x + B y

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Resolva as equações:

a   x y ' = y + x 2 + 4 y ² com x > 0

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Determine a solução da equação

x y + 4 y 2 d x + x 2 - 4 x y d y = 0

Que satisfaz a condição inicial

y 1 = 2

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Determine a solução da equação

x y ' = y + 2 x e - y / x

Que satisfaz a condição inicial

y 1 = 2

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Determine a solução geral da equação 2 x 2 y ' = y ( y + 3 x ) tal que y 1 = 1

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Dada a equação

y ' = - 4 x + 3 y 2 x + y ,     x > 0   e   y > 0

a)Mostre que essa equação diferencial é homogênea e diga qual a substituição que pode ser utilizada para torná-la separável.

b)Resolva a equação

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Nos exercícios 19 a 21 use o método desenvolvido na questão 18, para determinar a solução geral das equações.

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Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.

x y ' = y ( 1 + ln ⁡ y 2 - ln ⁡ x 2 )

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Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

c) x y y ' = 2 x 2 + 3 y 2

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Mostre que a seguinte equação é homogênea e resolva-a com a substituição y x = x v x :

d y d x = x - y x + y                     x > 0 .

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Determine explicitamente, ou indique implicitamente, a solução do problema de

valor inicial para cada equação diferencial de 1ª ordem acima, com a condição inicial y x 0 = y 0 :

y = x tan ⁡ ( ln ⁡ | x | + C )

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Classifique as equações diferenciais de 1ª ordem abaixo:

2 x y + y 2 + x 2 d x - 2 x 2 d y = 0

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Determine as soluções gerais, explicitas ou implícitas, das equações diferenciais de 1ª ordem acima, com métodos apropriados para cada caso.

2 x y + y 2 + x 2 d x - 2 x 2 d y = 0

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Determine a solução geral y = y ( x ) das seguintes EDOs:

( b )   y ' = 2 x - y x + 4 y

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Resolva as equações diferenciais:

b y ' =   2 y 2 + 3 x y x y + 2 x 2

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Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme seja o caso:

(c) x + y y d x - x 2 d y = 0

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Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

d )   y d x + x ln ⁡ y - ln ⁡ x - 1 d y = 0

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Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

c ) cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d y + y cos 3 ⁡ x - 1 d x = 0 ,       0 < x < π

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Resolva a equação homogênea de segunda ordem:

( x 2 - x y ) d y + ( x 2 - x y + y 2 ) d x = 0  

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Dadas as funções, determine quais são homogêneas.

I- f x , y = 4 x 3 + 3 y 3

II- f x , y = x + x y

III- f x , y = 2 x + x 2

( ) Todas são homogêneas

( ) Todas não são homogêneas

( ) Apenas a II

( ) Apenas a I

( ) Apenas a III

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Resolve as seguintes equações diferenciais. No caso da letra a), resolve o problema de valor inicial associado.

  1. d x d y = 4 1 + x 2 y 0 = 1
  2. d y d x - 2 x y = 1 x 2 y 2
  3. 1 + 2 x y d x + x 2 - 1 d y = 0
  4. y 2 + x y d x - x 2 d y = 0

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Determine a solução geral da equação x y ' - x = y + x cos ⁡ 2 y x que satisfaz a condição inicial de y 1 = 1

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Nos exercícios 19 a 21 use o método desenvolvido na questão 18, para determinar a solução geral das equações.

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