Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x + y 2 - x y d y d x = y ;     y 1 2 = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver essa equação aí!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

x + y 2 - x y d y d x = y

x + y 2 - x y d y = y   d x

Vemos que a parte M ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição x = v y .

Passo 2

Vamos lá, se x = v y , temos d x = v   d y + y   d v . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x + y 2 - x y d y = y   d x

v y + y 2 - v y 2 d y = y v   d y + y   d v

v y   d y + y 2 - v y 2 d y = v y d y + y 2 d v

y 2 - v y 2 d y = y 2 d v

y 1 - v   d y = y 2 d v

1 - v   d y = y   d v

d y y = d v 1 - v

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d v 1 - v   = ∫ d y y

- 2 1 - v = ln ⁡ y + C

E como x = v y → v = x y , temos:

- 2 1 - x y = ln ⁡ y + C

ln ⁡ | y | + 2 1 - x y = C

Beleza! Achamos nossa solução geral, agora vamos encontrar esse C para resolver o problema de valor inicial...

Passo 4

A questão nos deu que y 1 2 = 1 , então vamos substituir isso na equação...

ln ⁡ | y | + 2 1 - x y = C

ln ⁡ 1 + 2 1 2 = C

0 + 2 2 2 = C

C = 2

Então a solução para o problema inicial é:

ln ⁡ | y | + 2 1 - x y = 2

Prontinho! 😉

Resposta

ln ⁡ | y | + 2 1 - x y = 2

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