Enunciado

Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .

5. y ' ' + x 2 y ' + x y = 0

Passo 1

Então galera, de início já vou dizendo que as soluções em termos de série de potências é beeem cansativo, pois a solução é grande, infelizmente! No entanto, o lado bom é que não é tão complicado assim... Vejamos! A equação diferencial que nos foi dada é a seguinte:

y ' ' + x 2 y ' + x y = 0

O que devemos supor aqui é que nossa solução tem o seguinte formato:

y = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Como teremos que substituir na equação diferencial, então já vamos encontrar as derivadas para facilitar nossa vida! Utilizando a regra do tombo, teremos:

y ' = ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1

y ' ' = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n x n - 2

E essas são nossas derivadas! Show!

Passo 2

Se substituirmos na nossa equação diferencial, teremos:

y ' ' + x 2 y ' + x y = 0

∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n c n x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

Da primeira somatória tiramos que:

k = n - 2

Da segunda tiramos que:

k = n + 1

E da terceira tiramos que:

k = n + 1

Substituindo TUDO que tem n por k na nossa somatória, teremos:

∑ k = 0 ∞ k + 2 k + 1 c k + 2 x k + ∑ k = 2 ∞ k - 1 c k - 1 x k + ∑ k = 1 ∞ c k - 1 x k = 0

Colocando em evidência o que for possível, teremos:

2 c 2 + 6 c 3 + c 0 x + ∑ k = 2 ∞ k + 2 k + 1 c k + 2 + k c k - 1 x k = 0

Passo 3

Da relação que escrevemos no passo 3 tiramos que:

c 2 = 0

6 c 3 + c 0 = 0

c 3 = - 1 6 c 0

k + 2 k + 1 c k + 2 + k c k - 1 = 0

Isolando c k + 2 , teremos:

c k + 2 = - k c k - 1 k + 2 k + 1 ,   k = 2 ,   3 ,   4 ,   …

Aqui é o momento que encontramos as duas soluções, galera! Para a primeira solução vamos chamar c 0 = 1 e c 1 = 0 , ok? Aplicando alguns valores de k , teremos:

c 3 = - 1 6

c 4 = c 5 = 0

c 6 = 1 45

Para a segunda solução vamos fazer o contrário, ou seja, vamos chamar c 0 = 0 e c 1 = 1 , ok? Aplicando alguns valores de k , teremos:

c 3 = 0

c 4 = - 1 6

c 5 = c 6 = 0

c 7 = 5 252

Top, top!

Passo 4

Agora que encontramos alguns termos da nossa série, então já conseguimos extrair tranquilamente nosso resultado, pessoal! A primeira solução será:

y 1 = 1 - 1 6 x 3 + 1 45 x 6 - …

E a segunda solução será:

y 2 = x - 1 16 x 4 + 5 25 2 x 7 - …

E está aí nossa resolução completinha, galera! 😉

Resposta

y 1 = 1 - 1 6 x 3 + 1 45 x 6 - …

y 2 = x - 1 16 x 4 + 5 25 2 x 7 - …

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