Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

25 x 2 y ' ' + 25 x y ' + y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

25 x 2 y ' ' + 25 x y ' + y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

25 x 2 y ' ' + 25 x y ' + y = 0

25 x 2 m m - 1 x m - 2 + 25 x m x m - 1 + x m = 0

25 m 2 x m - 25 m x m + 25 m x m + x m = 0

25 m 2 x m + x m = 0

x m 25 m 2 + 1 = 0

Daqui a gente tem que 25 m 2 + 1 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

25 m 2 + 1 = 0

25 m 2 = - 1

m 2 = - 1 25

m 1 = 1 5 i

m 2 =   - 1 5 i

Temos duas raízes complexas, então a solução é dessa forma:

y = x α c 1 cos ⁡ β ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ β ln ⁡ x

Onde α é a parte real e β a parte imaginária...

Nossa solução então é:

y = x 0 c 1 cos ⁡ 1 5 ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ 1 5 ln ⁡ x

y = c 1 cos ⁡ 1 5 ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ 1 5 ln ⁡ x

E prontinho! 😉

Resposta

y = c 1 cos ⁡ 1 5 ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ 1 5 ln ⁡ x

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Resolva a equação diferencial. y ´ ´ - 2 y ´ + 10 y = 0
Em cada um dos problemas de7 a 12,encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,5 ; 1,0 ; 1,5e2,0 . (a) Useo método de Euler com h=0,025 . (b) Useo método de Euler c
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13. Complete os cálculos que levam aos elementos nas colunas três e quatro da tabela 8.1 . 1