Enunciado

Nos problemas 33-40 encontre funções linearmente independentes que são anuladas pelo operador diferencial dado.

D 2 . D - 5 . ( D - 7 )

Passo 1

Bora lá? Temos que encontrar alguns exemplos de funções que sejam anuladas pelo operador dado. Para isso, vamos lembrar das táticas que vimos nessa seção do seu livro:

1 - O operador D n anula funções do tipo x n - 1

2 - O operador D - α n anula funções do tipo x n - 1 . e α x

3 - O operador [ D 2 - 2 α D + α 2 + β 2 n anula x n - 1 . e α x . c o s ⁡ ( β x ) e x n - 1 . e α x . s e n ⁡ ( β x )

E se eu tiver uma função do tipo 1 somada com outra do tipo 3??

Aí o operador é a multiplicação entre esses respectivos operadores hehehe

Então agora sim, vamos lá!!

Passo 2

Temos o operador D 2 . D - 5 . ( D - 7 )

No primeiro ( D ² ), podemos pensar no caso 1 do passo 1, escolhendo, então, a função x para ser anulada por esse operador

Em ( D - 5 ) , caímos no caso 2, com α = 5 e n = 1 , então a função pode ser: e 5 x

Já em ( D - 7 ) , temos α = 7 e n = 1 , caindo na função e 7 x

Portanto, uma função anulada pelo operador dado é

1 + e 5 x + e 7 x

Resposta

1 + e 5 x + e 7 x

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