Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

3 x 2 y ' ' + 6 x y ' + y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

3 x 2 y ' ' + 6 x y ' + y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

3 x 2 y ' ' + 6 x y ' + y = 0

3 x 2 m m - 1 x m - 2 + 6 x m x m - 1 + x m = 0

3 m 2 x m - 3 m x m + 6 m x m + x m = 0

x m 3 m 2 + 3 m + 1 = 0

Daqui a gente tem que   3 m 2 + 3 m + 1 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

  3 m 2 + 3 m + 1 = 0

Δ = 3 2 - 4 1 3 = - 3

m 1 = - 3 + - 3 2 ⋅ 3 = - 1 2 + 3 i 6

m 2 = - 1 2 - 3 6 i

Temos duas raízes complexas, então a solução é dessa forma:

y = x α c 1 cos ⁡ β ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ β ln ⁡ x

Onde α é a parte real e β a parte imaginária...

Nossa solução então é:

y = x - 1 2 c 1 cos ⁡ 3 6 ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ 3 6 ln ⁡ x

E prontinho! 😉

Resposta

y = x - 1 2 c 1 cos ⁡ 3 6 ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ 3 6 ln ⁡ x

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24. Deduza uma expressão análoga à Eq. (22) para o erro de truncamento local para a fórmula de Euler inversa.Sugestão: Construa uma aproximação de Taylor apropriada de ϕ ( t ) em torno de t=t n + 1
Usando um tamanho de passo h=0,05 e o método de Euler, mas mantendo apenas três dígitos ao longo dos cálculos, determine valores aproximados para a solução em t=0,1 ;0,2 ;0,3e0,4 para cada um dos prob
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