Enunciado

Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.

21. y ' ' ' + y ' = tan ⁡ x

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos uma equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros precisamos, assim como já estamos acostumados, encontrar duas soluções: a solução complementar e a solução particular. A solução complementar é encontrada da maneira que já conhecemos mesmo, encontrando as raízes da equação característica. Já para encontrarmos a solução particular devemos fazer o seguinte:

Uma vez que encontramos a solução complementar teremos que a função que acompanha c 1 é y 1 , a função que acompanha c 2 é y 2 e a função de x que fica na direita da nossa equação diferencial é f x . Identificado isso, precisamos resolver os determinantes Wronskianos abaixo:

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 ' ' y 2 ' ' y 3 ' '

W 1 = 0 y 2 y 3 0 y 2 ' y 3 ' f x y 2 ' ' y 3 ' '

W 2 = y 1 0 y 3 y 1 ' 0 y 3 ' y 1 ' ' f x y 3 ' '

W 3 = y 1 y 2 0 y 1 ' y 2 ' 0 y 1 ' ' y 2 ' ' f x

Feito isso, depois precisamos integrar as seguintes funções:

u 1 ' = W 1 W ,   u 2 ' = W 2 W   e   u 3 ' = W 3 W

Pois a nossa solução particular vai ter o seguinte formato:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 + u 3 y 3

Pareceu difícil, galera? Então bora descomplicar isso aí! Praticando alguns exercícios tenho certeza que a ideia vai ficar muuuito mais clara! Chega mais!

Passo 2

Assim como comentamos no passo anterior, a primeira coisa a se fazer é encontrar y c , certo? Show! Nossa equação é:

y ' ' ' + y ' = tan ⁡ x

Fazendo as substituições y ' ' ' = m 3 ,   y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , teremos:

m 3 + m = 0

E então encontramos que:

m 1 = 0

m 2 = i

m 3 = - i

Como temos raízes complexas e distintas ao mesmo tempo, então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + e a x c 2 cos ⁡ b x + c 3 s e n   b x

y c = c 1 + c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x

Que nos diz o seguinte:

y 1 = 1

y 2 = cos ⁡ x

y 3 = s e n   x

Topzeeera! Primeira etapa concluída!

Passo 3

Além das funções que identificamos no passo anterior, tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada, tiramos que:

f x = tan ⁡ x

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 ' ' y 2 ' ' y 3 ' ' = 1 cos ⁡ x s e n   x 0 - s e n   x cos ⁡ x 0 - cos ⁡ x - s e n   x = 1

W 1 = 0 y 2 y 3 0 y 2 ' y 3 ' f x y 2 ' ' y 3 ' ' = 0 cos ⁡ x s e n   x 0 - s e n   x cos ⁡ x tan ⁡ x - cos ⁡ x - s e n   x = tan ⁡ x

W 2 = y 1 0 y 3 y 1 ' 0 y 3 ' y 1 ' ' f x y 3 ' ' = 1 0 s e n   x 0 0 cos ⁡ x 0 tan ⁡ x - s e n   x = - s e n   x

W 3 = y 1 y 2 0 y 1 ' y 2 ' 0 y 1 ' ' y 2 ' ' f x = 1 cos ⁡ x 0 0 - s e n   x 0 0 - cos ⁡ x tan ⁡ x = cos ⁡ x - sec ⁡ x

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = tan ⁡ x

u 2 ' = W 2 W = - s e n   x

u 3 ' = W 3 W = cos ⁡ x - sec ⁡ x

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1 ,   u 2   e   u 3 !

Passo 4

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ tan ⁡ x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ - s e n   x d x = cos ⁡ x

E, por fim, integrando u 3 ' , teremos:

u 3 = ∫ cos ⁡ x - sec ⁡ x d x = s e n   x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 + u 3 y 3

y p = - ln ⁡ cos ⁡ x + c o s 2 x + s e n   x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x . s e n   x

Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 + c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x - ln ⁡ cos ⁡ x + c o s 2 x + s e n   x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x . s e n   x

Simplificando:

y = c 1 + c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x - ln ⁡ cos ⁡ x - s e n   x . ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

E é isso, gente!

Resposta

y = c 1 + c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x - ln ⁡ cos ⁡ x - s e n   x . ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

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Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problem
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