Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = c 1 e - x

Passo 1

E aíí, vamos resolver essa juntos?

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y = c 1 e - x , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y = c 1 e - x     ( I )

d y d x = - c 1 . e - x

Da equação ( I ) , temos que c 1 = y e - x = y . e x , então vamos substituir:

d y d x = - y . e x . e - x

d y d x = - y . e x - x

Então, a equação diferencial da família dada é:

d y d x = - y

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos d y d x = - y

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - 1 - y

d y d x = 1 y

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = 1 y

Multiplicando em cruz:

y   d y = d x

Integrando dos dois lados:

∫ y   d y = ∫ d x

y 2 2 + c 2 = x + c 3

Podemos juntar c 2 e c 3 e formar uma nova constante c 4

y 2 2 = x + c 4

Então, as trajetórias ortogonais são descritas assim:

y 2 = 2 x + c 4

Temos então uma família de parábolas hihi

Resposta

y 2 = 2 x + c 4

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