Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = 1 ln ⁡ c 1 x

Passo 1

Bora bora que a gente já ta ficando craque em trajetórias ortogonais

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   y = 1 ln ⁡ c 1 x , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y = 1 ln ⁡ c 1 x   ( I )

Usando a regra do quociente:

d y d x = 0 . ln ⁡ c 1 x - 1 . c 1 . 1 c 1 x ( ln ⁡ c 1 x ) ²

d y d x = - 1 x ( ln ⁡ c 1 x ) ²

d y d x = - 1 x . l n 2 ( c 1 . x )     ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y = 1 ln ⁡ c 1 x

y . ln ⁡ c 1 x = 1

ln ⁡ c 1 x = 1 y

e 1 y = c 1 x

c 1 = e 1 y x

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = - 1 x . l n 2 e 1 y x . x

d y d x = - 1 x . l n 2 e 1 y

Masss por propriedade de logaritmo, temos ln ⁡ e 1 y = 1 y

d y d x = - 1 x . 1 y 2

Então, a equação diferencial da família dada é

d y d x = - y ² x

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = - y ² x

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = x y 2

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = x y 2

Multiplicando em cruz:

y 2 d y = x   d x

Integrando dos dois lados:

y 3 3 = x 2 2 + c 2

Multiplicando tudo por 6, temos que as trajetórias ortogonais são descritas por

2 y 3 = 3 x 2 + c 2

Resposta

2 y 3 = 3 x 2 + c 2

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