Enunciado

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12 - Encontre a família de soluções de determinada equação diferencial e a família de trajetórias ortogonais. Esboce as duas famílias.

  1. x   d x   +   y   d y   =   0
  2. x   d y   -   2 y   d x   =   0

Passo 1

Resolvendo o item A:

∫ x   d x +   ∫ y   d y = 0

x 2 2 + y 2 2 = C

x 2 + y 2 = C

Realizando a derivação:

2 x + 2 y y ' = 0

2 y y ' = - 2 x

y ' = - 2 x 2 y

y ' = - x y

Para a ortogonal teremos:

d y d x = y x ⇒ d y y = d x x

Resolvendo a Integral:

∫ d y y = ∫ d x x

ln ⁡ y = ln ⁡ x + C

Assim:

y = C x   p a r a   C = e c

Passo 2

Resolvendo o item B:

x   d y   -   2 y   d x   =   0 ⇒ x   d y = 2 y   d x

Desta forma:

d y 2 y = d x x

∫ d y 2 y = ∫ d x x

1 2 ln ⁡ y = ln ⁡ x + C

y = C 1 x 2 – Equação da família.

Agora:

1 2 ln ⁡ y - ln ⁡ x = C

1 2 y ' y - 1 x = 0

y ' 2 y = 1 x

y ' = 2 y x

Para a ortogonal teremos:

d y d x = - x 2 y

2 y   d y =   - x   d x

∫ 2 y   d y = ∫ - x   d x

y 2 = - x 2 2 + C

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