Enunciado

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

x y ' ' - x + 1 y ' + y = 0 ;     y 1 = e x

Passo 1

E aíí meu jovem, vamos matar mais um probleminha?

Ó se liga, nesse caso queremos encontrar a segunda solução da equação x y ' ' - x + 1 y ' + y = 0 , sendo que a primeira solução é y 1 = e x

Nesse caso, a gente vai seguir a sugestão do enunciado e usar a fórmula 4 do seu livro, que fala que:

Dada a equação y ' ' + P x y ' + Q x y = 0 e uma primeira solução y 1 ( x ) , uma segunda solução vai ser dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x     ( I )

Então vamos lá??

Passo 2

Só pra relembrar, temos a equação

x y ' ' - x + 1 y ' + y = 0

E a primeira solução é y 1 = e x

Primeiramente, vamos deixar nossa equação nesse modelo:

y ' ' + P x y ' + Q x y = 0     ( I I )

Para isso, vamos dividir tudo por x : y ' ' - x + 1 x y ' + 1 x y = 0     ( I I I )

Belezinha, agora ela já ta com a carinha da equação ( I I )

Comparando a nossa equação ( I I I ) com a ( I I ) , a gente tem

P x = - x + 1 x

Q x = 1 x

Então agora é só jogar lá na fórmula ( I ) do passo 1??

Isso mesmooo, vamos lá!

Passo 3

Vimos que a segunda solução é dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x

Substituindo y 1 = e x , P x = - x + 1 x e Q x = 1 x , temos

y 2 x = e x ∫ e - ∫ - x + 1 x d x e 2 x   d x     ( I V )

Pra começo de conversa, temos que resolver aquela integral ali no expoente do Euler:

∫ - x + 1 x d x

Podemos separar na soma de duas frações:

∫ - 1 - 1 x d x

E então na soma de duas integrais:

∫ - 1   d x + ∫ - 1 x d x

Aí temos:

∫ - x + 1 x d x = - x - ln ⁡ x     ( V )

Passo 4

Ta bom, agora vamos substituir ( V ) em ( I V ) :

y 2 x = e x ∫ e - - x - ln ⁡ x   e 2 x   d x

y 2 x = e x ∫ e x + ln ⁡ | x | e 2 x   d x

Por propriedade de potência, temos que a b + c = a b . a c :

y 2 x = e x ∫ e x . e ln ⁡ x e 2 x   d x

Por propriedade de logaritmo, e ln ⁡ x = x

y 2 x = e x ∫ e x . x e 2 x   d x

Agora como temos a divisão de potências na mesma base, vamos subtrair os expoentes:

y 2 x = e x ∫ e - x . x   d x

Para resolver essa integral, vamos usar integral por partes

Chamando u = x e d v = e - x , temos d u = 1 e v = - e - x :

y 2 x = e x x . - e - x - ∫ - e - x . 1   d x

y 2 x = e x - x . e - x + ∫ e - x   d x

y 2 x = e x - x . e - x - e - x

Fazendo o chuveirinho:

y 2 x = - x . e - x . e x - e x . e - x

Então, uma segunda solução é:

y 2 x = - x - 1

Resposta

y 2 x = - x - 1

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