Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

16. y ' ' + 3 y ' - 10 y = x e x + 1

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 3 y ' - 10 y = x e x + 1

m 2 + 3 m - 10 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - 3 ± 9 - 4 . 1 . - 10 2 . 1 = - 3 ± 7 2

Então encontramos que:

m 1 = - 3 + 7 2 = 2

m 2 = - 3 - 7 2 = - 5

Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

y c = c 1 e 2 x + c 2 e - 5 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = x e x + 1

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato x e a x , o seguinte operador anula nossa função:

D - a n

No qual n é o expoente de x e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos a = 1 e n = 2 , logo um dos nossos operadores será:

D - 1 2

E quando temos uma função no formato x , o seguinte operador anula nossa função:

D 2

Então nosso operador será D 2 D - 1 2 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 3 y ' - 10 y = x e x + 1

D 2 y + 3 D y - 10 y = x e x + x

D 2 + 3 D - 10 y = x e x + x

D 2 D - 1 2 D 2 + 3 D - 10 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m 2 m - 1 2 m 2 + 3 m - 10 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = 0

m 3 = m 4 = 1

m 5 = 2

m 6 = - 5

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 + c 2 x + c 3 e x + c 4 x e x + c 5 e 2 x + c 6 e - 5 x

Observe que o termo c 5 e 2 x + c 6 e - 5 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A + B x + C e x + D x e x

Aqui vale ressaltar que A = c 1 , B = c 2 , C = c 3 e D = c 4 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = B + C e x + D 1 . e x + x e x

y p ' ' = C e x + D e x + D 1 . e x + x e x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' + 3 y ' - 10 y = x e x + 1

C e x + D e x + D 1 . e x + x e x + 3 B + C e x + D 1 . e x + x e x - 10 A + B x + C e x + D x e x

= x e x + x

Como temos uma identidade isso nos dá que:

- 6 D = 1 - 10 B = 1 3 B - 10 A = 0 5 D - 10 C = 0

E encontramos que:

D = - 1 6

B = - 1 10

C = - 5 36

A = - 3 100

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = - 3 100 - 1 10 x - 5 36 e x - 1 6 x e x + c 5 e 2 x + c 6 e - 5 x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = - 3 100 - 1 10 x - 5 36 e x - 1 6 x e x + c 5 e 2 x + c 6 e - 5 x

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