Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

17. y ' ' - y = x 2 e x + 5

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - y = x 2 e x + 5

m 2 - 1 = 0

Então encontramos que:

m 1 = 1

m 2 = - 1

Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

y c = c 1 e x + c 2 e - x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = x 2 e x + 5

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato x e a x , o seguinte operador anula nossa função:

D - a n

No qual n é o expoente de x e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos a = 1 e n = 3 , logo um dos nossos operadores será:

D - 1 3

E quando temos uma função no formato k , o seguinte operador anula nossa função:

D

Então nosso operador será D D - 1 3 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - y = x 2 e x + 5

D 2 y - y = x 2 e x + 5

D 2 - 1 y = x 2 e x + 5

D D - 1 3 D 2 - 1 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m m - 1 3 m 2 - 1 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = 0

m 2 = m 3 = m 4 = m 5 = 1

m 6 = - 1

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 x 3 e x + c 4 x 2 e x + c 5 x e x + c 6

Observe que o termo c 1 e x + c 2 e - x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A x 3 e x + B x 2 e x + C x e x + D

Aqui vale ressaltar que A = c 3 , B = c 4 , C = c 5 e D = c 6 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = A e x x 3 + 3 e x x 2 + B e x x 2 + 2 e x x + C e x x + e x

y p ' ' = A e x x 3 + 6 e x x 2 + 6 e x x + B e x x 2 + 4 e x x + 2 e x + C e x + 2 e x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' - y = x 2 e x + 5

A e x x 3 + 6 e x x 2 + 6 e x x + B e x x 2 + 4 e x x + 2 e x + C e x + 2 e x - A x 3 e x + B x 2 e x

+ C x e x + D = x 2 e x + 5

Como temos uma identidade isso nos dá que:

6 A = 1 6 A + 4 B = 0 2 B + 2 C = 0 - D = 5

E encontramos que:

A = 1 6

B = - 1 4

C = 1 4

D = - 5

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 e x + c 2 e - x + 1 6 x 3 e x - 1 4 x 2 e x + 1 4 x e x - 5

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 e x + c 2 e - x + 1 6 x 3 e x - 1 4 x 2 e x + 1 4 x e x - 5

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