Enunciado

Nos problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

33. y ' ' - 64 y = 16 ,   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - 64 y = 1 6

m 2 - 64 = 0

Isolando m encontramos que:

m 2 = 64

m 1 = 8

m 2 = - 8

Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

y c = c 1 e 8 x + c 2 e - 8 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 16

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato k , o seguinte operador anula nossa função:

D

Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - 64 y = 16

D 2 y - 64 y = 16

D 2 - 64 y = 16

D D 2 - 64 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m m 2 - 64 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = 0

m 2 = 8

m 3 = - 8

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 e 8 x + c 2 e - 8 x + c 3

Observe que o termo c 1 e 8 x + c 2 e - 8 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A

Aqui vale ressaltar que A = c 3 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = y p ' ' = 0

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' - 64 y = 16

0 - 64 A = 16

∴ A = - 1 4

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 e 8 x + c 2 e - 8 x - 1 4

Show de bola! Conseguimos resolver nossa equação diferencial! No entanto não acabou por aqui, pois o enunciado nos deu condições iniciais para encontrarmos c 1 e c 2 . As condições são:

y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Aplicando a primeira condição, teremos:

1 = c 1 + c 2 - 1 4

c 1 + c 2 = 5 4

Aplicando a segunda condição, teremos:

y ' = 8 c 1 e 8 x - 8 c 2 e - 8 x

0 = 8 c 1 - 8 c 2

c 1 = c 2

Substituindo na primeira equação que encontramos:

2 c 1 = 5 4

c 1 = c 2 = 5 8

Portanto nossa solução geral tendo em vista essas condições iniciais será:

y = 5 8 e 8 x + e - 8 x - 1 4

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = 5 8 e 8 x + e - 8 x - 1 4

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