Enunciado

Nos problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

40. y 4 - y ' ' ' = x + e x ,   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 0 ,   y ' ' ' 0 = 0

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' ' ' = m 4 ,   y ' ' ' = m 3 , y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y 4 - y ' ' ' = x + e x

m 4 - m 3 = 0

Colocando m em evidência:

m 3 m - 1 = 0

E então tiramos que:

m 1 = m 2 = m 3 = 0

m 4 = 1

Como temos raízes distintas e idênticas ao mesmo tempo, então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x + c 3 x 2 e m 3 x + c 4 e m 4 x

y c = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 e x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = x + e x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x o seguinte operador anula nossa função:

D - a

No qual D é o operador definido como D y = d y d x e a é a constante que acompanha x no expoente. No nosso caso temos a = 1 , logo nosso primeiro operador será:

D - 1

E quando temos uma função no formato x n - 1 o seguinte operador anula nossa função:

D n

No qual n é o expoente de x acrescido de uma unidade. Como temos n = 2 , então nosso segundo operador será:

D 2

Dessa forma temos que nosso operador total será D 2 D - 1 . Aplicando na nossa equação, teremos:

  y 4 - y ' ' ' = x + e x

D 4 y - D 3 y = x + e x

D 4 - D 3 y = x + e x

D 2 D - 1 D 4 - D 3 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 4 = m 4 ,   D 3 = m 3 ,   D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m 2 m - 1 m 4 - m 3 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m 5 = 0

m 6 = m 7 = 1

Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:

y = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 e x + c 5 x 3 + c 6 x 4 + c 7 x e x

Observe que o termo c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 e x + c 5 é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A x 3 + B x 4 + C x e x

Aqui vale ressaltar que A = c 5 ,   B = c 6   e   C = c 7 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' ,   y p ' ' ,   y p ' ' '   e   y ' ' ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = 3 A x 2 + 4 B x 3 + C e x + x e x

y p ' ' = 6 A x + 12 B x 2 + C e x + C e x + x e x

y p ' ' ' = 6 A + 24 B x + C e x + C e x + C e x + x e x = 6 A + 24 B x + 3 C e x + C x e x

y p ' ' ' ' = 24 B + 4 C e x + C x e x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y 4 - y ' ' ' = x + e x

24 B + 4 C e x + C x e x - 6 A + 24 B x + 3 C e x + C x e x = x + e x

24 B + 4 C e x + C x e x - 6 A - 24 B x - 3 C e x - C x e x = x + e x

Como temos uma identidade isso nos dá que:

- 6 A + 24 B = 0 - 24 B = 1 C = 1

E então encontramos o seguinte:

A = - 1 6

B = - 1 24

C = 1

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 e x - 1 6 x 3 - 1 24 x 4 + x e x

Show de bola! Conseguimos resolver nossa equação diferencial! No entanto não acabou por aqui, pois o enunciado nos deu condições iniciais para encontrarmos c 1 ,   c 2 ,   c 3   e   c 4 . As condições são:

y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 0 ,   y ' ' ' 0 = 0

Então bora resolver isso aí!

Passo 5

Aplicando a primeira condição, teremos:

0 = c 1 + c 4

Aplicando a segunda condição, teremos:

y ' = c 2 + 2 c 3 x + c 4 e x - 1 2 x 2 - 1 6 x 3 + e x + x e x

c 2 + c 4 + 1 = 0

Aplicando a terceira condição, teremos:

y ' ' = 2 c 3 + c 4 e x - x - 1 2 x 2 + 2 e x + x e x

2 c 3 + c 4 + 2 = 0

E, por fim, aplicando a quarta e última condição, teremos:

y ' ' ' = c 4 e x - 1 - x + 3 e x + x e x

2 + c 4 = 0

E desse sistema formado tiramos:

c 1 = 2

c 2 = 1

c 3 = 0

c 4 = - 2

Portanto nossa solução geral tendo em vista essas condições iniciais será:

y = 2 + x - 2 e x - 1 6 x 3 - 1 24 x 4 + x e x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = 2 + x - 2 e x - 1 6 x 3 - 1 24 x 4 + x e x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 41 e 42, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial dada.42. y ' ' + y ' = 9 - e - x + x 2 s e nx
Prove que a equação diferencial: a n y n + a n - 1 y n - 1 + … + a 1 y ' + a 0 y = k No qual k é uma constante, a 0 ≠ 0 tem como solução particular a função y p = k a 0 .
Nos problemas 41 e 42, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial dada.41. y ' ' - y = e x 2 + 3 x . cos ⁡ 2 x
Mostre que o operador x D - 1 D + 4 é diferente do operador D + 4 x D - 1 .
Nos problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.38. y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' = x e x + 5 ,y 0 = 2 ,y ' 0 = 2 ,y ' ' 0 = - 1