Enunciado

Nos problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

36. y ' ' + 5 y ' - 6 y = 10 e 2 x ,   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 1

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 5 y ' - 6 y = 10 e 2 x

m 2 + 5 m - 6 = 0

Aplicando Bháskara, teremos:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - 5 ± 25 - 4 . 1 . - 6 2 . 1 = - 5 ± 1 2

E então encontramos que:

m 1 = - 2

m 2 = - 3

Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

y c = c 1 e - 2 x + c 2 e - 3 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 10 e 2 x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x , o seguinte operador anula nossa função:

D - a

No qual D é o operador definido como D y = d y d x e a é a constante que acompanha x no expoente. No nosso caso temos a = 2 , logo nosso operador será:

D - 2

Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 5 y ' - 6 y = 10 e 2 x

D 2 y + 5 D y - 6 y = 10 e 2 x

D 2 + 5 D - 6 y = 10 e 2 x

D - 2 D 2 + 5 D - 6 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m - 2 m 2 + 5 m - 6 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = 2

m 2 = - 2

m 3 = - 3

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 e - 2 x + c 2 e - 3 x + c 3 e 2 x

Observe que o termo c 1 e - 2 x + c 2 e - 3 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A e 2 x

Aqui vale ressaltar que A = c 3 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = 2 A e 2 x

y p ' ' = 4 A e 2 x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' + 5 y ' - 6 y = 10 e 2 x

4 A e 2 x + 10 A e 2 x - 6 A e 2 x = 10 e 2 x

8 A e 2 x = 10 e 2 x

∴ A = 5 4

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 e - 2 x + c 2 e - 3 x + 5 4 e 2 x

Show de bola! Conseguimos resolver nossa equação diferencial! No entanto não acabou por aqui, pois o enunciado nos deu condições iniciais para encontrarmos c 1 e c 2 . As condições são:

y 0 = 1 ,   y ' 0 = 1

Aplicando a primeira condição, teremos:

1 = c 1 + c 2 + 5 4

c 1 + c 2 = - 1 4

Aplicando a segunda condição, teremos:

y ' = - 2 c 1 e - 2 x - 3 c 2 e - 3 x + 5 2 e 2 x

1 = - 2 c 1 - 3 c 2 + 5 2

- 2 c 1 - 3 c 2 = - 3 2

E do seguinte sistema:

c 1 + c 2 = - 1 4 - 2 c 1 - 3 c 2 = - 3 2

Tiramos que:

c 1 = - 3 4

c 2 = 5 28

Portanto nossa solução geral tendo em vista essas condições iniciais será:

y = - 3 4 e - 2 x + 5 28 e - 3 x + c 3 e 2 x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = - 3 4 e - 2 x + 5 28 e - 3 x + c 3 e 2 x

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