Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

d 5 y d x 5 - 2 d 4 y d x 4 + 17 d 3 x d x ³ = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever d 5 y d x 5 - 2 d 4 y d x 4 + 17 d 3 x d x ³ = 0

y ' ' ' ' ' - 2 y ' ' ' ' + 17 y ' ' ' = 0

Assim:

m 5 - 2 m 4 + 17 m ³ = 0

Colocando m ³ em evidência:

m ³ . m 2 - 2 m + 17 = 0

Então já temos 3 raízes em m = 0 , porque m 3 = 0 → m = 0

Agora precisamos resolver

m 2 - 2 m + 17 = 0

Calculando o :

∆ = - 2 2 - 4.1 . 17 = - 64

Então:

m = - - 2 ± - 64 2 = 2 ± 8 i 2 = 1 ± 4 i

Então temos 3 soluções em m = 0 , uma em 1 + 4 i e outra em 1 - 4 i . Nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 0 . x + c 2 . x . e 0 x + c 3 . x 2 . e 0 x + c 4 . e ( 1 + 4 i ) x + c 5 . e ( 1 - 4 i ) x

y = c 1 + c 2 . x + c 3 . x 2 + c 4 . e ( 1 + 4 i ) x + c 5 . e ( 1 - 4 i ) x

Resposta

y = c 1 + c 2 . x + c 3 . x 2 + c 4 . e ( 1 + 4 i ) x + c 5 . e ( 1 - 4 i ) x

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