Enunciado

Nos problemas 61-64, determine uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenham a solução dada.

64. 8 s e n h   3 x , 12 cosh ⁡ 3 x

Passo 1

Então galera, de acordo com o que foi dado, temos que a solução geral é a seguinte:

y = 8 . s e n h   3 x + 12 . cosh ⁡ 3 x

Substituindo as funções trigonométricas hiperbólicas:

s e n h   3 x = e 3 x - e - 3 x 2

cosh ⁡ 3 x = e 3 x + e - 3 x 2

Teremos:

y = 4 . e 3 x - e - 3 x + 6 . e 3 x + e - 3 x

Simplificando:

y = 4 e 3 x - 4 e - 3 x + 6 e 3 x + 6 e - 3 x

y = 10 e 3 x + 2 e - 3 x

Se lembrarmos do que foi discutido na seção em questão, notaremos que essa solução dada tem esse formato:

y = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

Isso nos diz que as raízes são:

m 1 = 3

m 2 = - 3

Show!

Passo 2

Agora que conhecemos as raízes da equação característica e sabemos que essa equação tem que ser zero, então:

m - 3 m + 3 = 0

Abrindo isso aí, teremos:

m 2 - 9 = 0

E vocês se lembram da substituição que fazemos para aparecer esse m ? Então, a substituição que realizamos é:

y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1

Sendo assim, nossa equação diferencial será:

y ' ' - 9 y = 0

E está aí nossa equation! 😊

Resposta

y ' ' - 9 y = 0

Exercícios de Livros Relacionados

20. y 4 - 8 y ' = 0
21. y 8 + 8 y 4 + 16 y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 36, encontre a solução do problema de
Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencia
3. Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais:a) f ' =