Enunciado

Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0 ,       y 1 = 0 ,     y ' 1 = 1

Passo 1

E aíí, vamos pra mais um probleminha?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

E aí depois disso vamos aplicar as condições iniciais que ele deu, pra aí descobrirmos os valores das constantes

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0

Assim:

m 2 - 3 m + 2 = 0

Resolvendo a equação:

∆ = - 3 2 - 4.1 . 2 = 1

m 1 = - - 3 + 1 2 = 2                               m 2 = - - 3 - 1 2 = 1  

Então, a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 2 x + c 2 . e 1 x

Agora temos que aplicar as condições iniciais, beleza?

Passo 3

Fazendo y 1 = 0 :

y 1 = 0 = c 1 . e 2 . 1 + c 2 . e 1 . 1

c 1 . e 2 + c 2 . e = 0

E agora y ' 1 = 1 :

y ' 1 = 1 = 2 c 1 . e 2 . 1 + c 2 . e 1 x

2 c 1 . e 2 + c 2 . e = 1

Então temos o sistema:

c 1 . e 2 + c 2 . e = 0 2 c 1 . e 2 + c 2 . e = 1

De onde encontramos c 1 = e - 2 e c 2 = - e - 1

Então:

y = e - 2 . e 2 x - e - 1 . e 1 x

y = e - 2 + 2 x - e - 1 + x

Resposta

y = e - 2 + 2 x - e - 1 + x

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2. Quais os operadores que definem as equações diferenciais seguintes?a) f ' ' = 0 b) 3 f ' ' + 2 f ' + f = 0 c) f n + f n - 1 + … + f ' + f = 0 d) f ' ' = - f e) f ' ' + f = 0
1. Escrever as equações diferenciais homogêneas determinadas pelos operadores seguintes:a) D ; b) D 2 ; c) D n ; d) D + 1 ;e) D 2 - 3 D + 1 ; f) 3 D 2 - 2 D ; g) D 2 + ω 2 ; h) D - a ; i) D - 1 D + 1
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