Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1 - Capítulo 4.3 - Ex. 35

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

d 5 y d x 5 + 5 d 4 y d x 4 - 2 d 3 x d x 3 - 10 d 2 y d x 2 + d y d x + 5 y = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever d 5 y d x 5 + 5 d 4 y d x 4 - 2 d 3 x d x 3 - 10 d 2 y d x 2 + d y d x + 5 y = 0

y ' ' ' ' ' + 5 y ' ' ' ' - 2 y ' ' ' - 10 y ' ' + y ' + 5 y = 0

Assim:

m 5 + 5 m 4 - 2 m 3 - 10 m 2 + m + 5 = 0

De onde encontramos duas raízes em m = - 1 , duas raízes em m = 1 e uma raíz em m = - 5 . Então nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e - x + c 2 . x . e - x + c 3 . e x + c 4 . x . e x + c 5 . e - 5 x

Resposta

y = c 1 . e - x + c 2 . x . e - x + c 3 . e x + c 4 . x . e x + c 5 . e - 5 x

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