Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1 - Capítulo 4.4 - Ex. 16

Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

16. y ' ' - 5 y ' = 2 x 3 - 4 x 2 - x + 6

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos os exercícios dessa seção 4.4 devemos seguir uma espécie de passo a passo, beleza? A equação que nos é dada tem o seguinte formato:

a y ' ' + b y ' + c y = g x

A solução geral desse tipo de equação diferencial, que é a de coeficientes indeterminados, tem essa cara aqui ó:

y = y p + y c

Mas o que são esses sub-indíces aí? Então, y p é uma solução particular e y c é uma solução complementar. Para encontrarmos y c basta reduzirmos a equação diferencial a uma equação quadrática para encontrar as raízes. Uma vez que encontramos as raízes teremos três resultados possíveis, assim como demonstrado e discutido na seção em questão.

Agora para y p não existe uma solução pronta ou algo do tipo, pois como se trata de uma solução particular, então teremos que analisar cada função de g x que o problema der, já que serão sempre distintas para cada questão.

Mas agora chega de conversa, né? Vamos colocar essa discussão em prática para vermos como funciona esse trem todo aí!

Passo 2

Nossa equação é essa aqui:

y ' ' - 5 y ' = 2 x 3 - 4 x 2 - x + 6

Para encontrarmos y c vamos fazer: y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , ok? Logo:

m 2 - 5 m = 0

Colocando m em evidência:

m m - 5 = 0

Então encontramos que:

m 1 = 0

m 2 = 5

Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

y c = c 1 + c 2 e 5 x

Shows!

Passo 3

Da nossa equação diferencial tiramos que:

g x = 2 x 3 - 4 x 2 - x + 6

Como temos uma função de terceiro grau, então é natural que façamos uma suposição que tenha a seguinte cara de solução particular, saca só:

y p = A x 4 + B x 3 + C x 2 + D x

E então devemos determinar coeficientes específicos A , B , C e D para que y p seja uma solução particular da nossa equação. Derivando, teremos:

y p ' = 4 A x 3 + 3 B x 2 + 2 C x + D

y p ' ' = 12 A x 2 + 6 B x + 2 C

Substituindo na nossa equação diferencial, teremos:

y ' ' - 5 y ' = 2 x 3 - 4 x 2 - x + 6

1 2 A x 2 + 6 B x + 2 C - 20 A x 3 - 15 B x 2 - 10 C x - 5 D = 2 x 3 - 4 x 2 - x + 6

Como temos uma identidade podemos tirar o seguinte:

- 20 A = 2 6 B - 10 C = - 1 12 A - 15 B = - 4 2 C - 5 D = 6

Então vamos resolver esse sistema aí!

Passo 4

Da primeira equação tiramos que:

A = - 1 10

Substituindo esse valor na terceira, tiramos:

12 . - 1 10 - 15 B = - 4

B = 14 75

Substituindo na segunda equação:

6 . 14 75 - 10 C = - 1

C = 53 250

E, por fim, substituindo na quarta equação:

2 . 53 250 - 5 D = 6

D = - 697 625

Agora que determinamos A , B , C e D , temos que y p será:

y p = A x 4 + B x 3 + C x 2 + D x

y p = - 1 10 x 4 + 14 75 x 3 + 53 250 x 2 - 697 625 x

Dessa forma, temos que nossa solução geral será:

y = y c + y p

y = c 1 + c 2 e 5 x - 1 10 x 4 + 14 75 x 3 + 53 250 x 2 - 697 625 x

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 + c 2 e 5 x - 1 10 x 4 + 14 75 x 3 + 53 250 x 2 - 697 625 x

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