Enunciado

Nos problemas 59 e 60, encontre a solução geral para a equação dada, em que y 1 é uma solução conhecida.

59. y ' ' ' - 9 y ' ' + 25 y ' - 17 y = 0 ;   y 1 = e x

Passo 1

Então galera, a solução conhecida que nos foi dada é a seguinte:

y 1 = e x

Se lembrarmos bem esse tipo de solução tem essa cara:

y = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

Uma das constantes é zero, o que implica que:

m = 1

m - 1 = 0

Top!

Passo 2

Para a equação diferencial que nos foi dada vamos fazer as substituições que já estamos acostumados, saca só:

y ' ' ' = m 3 ,   y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1

Substituindo:

m 3 - 9 m 2 + 25 y - 17 = 0

Do passo 1 temos que m - 1 = 0 , logo:

m 3 - 9 m 2 + 25 y - 17 = m - 1 = 0

Dividindo tudo por m - 1 teremos:

m 2 - 8 m + 17 = 0

E então temos que resolver essa equação de segundo grau. Bora que bora!

Passo 3

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = 8 ± 64 - 4 . 1.17 2 . 1 = 8 ± - 4 2

Então encontramos que:

m 1 = a + b i = 4 + i

m 2 = a - b i = 4 - i

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução:

y = e a x . c 2 cos ⁡ b x + c 3 s e n   b x

Substituindo as raízes, teremos:

y = e 4 x c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x

Mas como temos uma solução conhecida, então nosso resultado final será:

y = c 1 e x + e 4 x c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x

E é isso!

Resposta

y = c 1 e x + e 4 x c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x

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