Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

1 + x y ' - x y = x + x ²

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, vamos dividir tudo por ( 1 + x ) :

d y d x - x 1 + x y = x + x 2 x + 1

d y d x - x 1 + x y = x       ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = - x x + 1 e B x = x então:

I x = e ∫ - x x + 1   d x

I x = e -   x - 1 + l n ⁡ | x + 1 |

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 e -   x - 1 + l n ⁡ | x + 1 | ∫ e -   x - 1 + l n ⁡ | x + 1 | . x   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ e -   x - 1 + ln ⁡ x + 1 . x   d x = ∫ e -   x . e - 1 . e ln ⁡ x + 1 . x   d x

∫ e -   x - 1 + ln ⁡ x + 1 . x   d x = 1 e ∫ e -   x . ( x + 1 ) . x   d x

Utilizando integral por partes, temos

∫ e -   x - 1 + ln ⁡ x + 1 . x   d x = 1 e ( - e - x . x 2 - 3 e - x . x - 3 e - x )

Substituindo em ( I I I )

y x = 1 e -   x - 1 + l n ⁡ | x + 1 | 1 e ( - e - x . x 2 - 3 e - x . x - 3 e - x ) + c

y = - x - 2 x + 3 x + 1 + c . e x x + 1

Com:

- 1 < x < + ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y = - x - 2 x + 3 x + 1 + c . e x x + 1

- 1 < x < + ∞

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