Enunciado

Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada μ ( x , y ) seja um fator de integração

6 x y   d x + 4 y + 9 x 2 d y = 0 ,             μ x , y = y ²

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

E agora a definição de fator de integração:

Se tivermos uma equação diferencial não exata e multiplicarmos ela por um fator de integração μ x , y , a equação deve se tornar exata.

Então, nesse problema vamos fazer o seguinte:

- Primeiro vamos multiplicar toda a equação pelo fator de integração μ x , y

- Com isso, temos que provar que a equação diferencial é exata, mostrando que μ x , y é um fator de integração

- Depois, resolvemos a equação diferencial exata :)

Vamos lá!

Passo 2

Verificando o fator de integração

Temos a equação 6 x y   d x + 4 y + 9 x 2 d y = 0 , vamos multiplicar todos os termos por μ x , y = y ² , aí a nossa equação se torna:

6 x y ³   d x + 4 y ³ + 9 x 2 y ² d y = 0

Agora vamos verificar que a equação 6 x y ³   d x + 4 y ³ + 9 x 2 y ² d y = 0 é exata, e aí estará provado que y ² é um fator de integração

Ela já está escrita no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, temos M x , y = 6 x y ³ e N x , y = 4 y ³ + 9 x 2 y ²

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ 6 x y ³ ∂ y

Derivando M em relação a y

∂ M ∂ y = 18 x y ²

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ 4 y ³ + 9 x 2 y ² ∂ x

∂ N ∂ x = 18 x y ²

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 18 x y ²

Logo, nossa equação é exata, então, o y ² realmente é um fator de integração galerinha

Agora vamos resolver a equação e acabou hehehe

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial

Temos

6 x y ³   d x + 4 y ³ + 9 x 2 y ² d y = 0

Com M x , y = 6 x y ³ e N x , y = 4 y ³ + 9 x 2 y ²

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = 6 x y ³

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ 6 x y 3 d x + g y

f = 6 y 3 . x 2 2 + g y

f = 3 y 3 x 2 + g ( y )

Passo 5

Temos

f = 3 y 3 x ² + g ( y )   ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = 9 y ² x ² + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = 4 y ³ + 9 x 2 y ² :

∂ f ∂ y = 9 y ² x ² + g ' ( y ) = 4 y ³ + 9 x 2 y ²

Então:

g ' y = 4 y ³

Integrando em relação a y :

g y = 4 . y 4 4 = y 4   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = 3 y 3 x ² + y 4

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

3 y 3 x ² + y 4 = c

Resposta

3 y 3 x ² + y 4 = c

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