Enunciado

Nos problemas 23-26, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

x 2 y ' ' - 5 x y ' + 8 y = 0 ;     y 2 = 32 ,     y ' 2 = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' - 5 x y ' + 8 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 y ' ' - 5 x y ' + 8 y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 - 5 x m x m - 1 + 8 x m = 0

m 2 x m - m x m - 5 m x m + 8 x m = 0

x m m 2 - 6 m + 8 = 0

Daqui a gente tem que m 2 - 6 m + 8 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 - 6 m + 8 = 0

Δ = 36 - 32 = 4

m 1 = 6 + 2 2 = 4

m 2 = 6 - 2 2 = 2  

Temos duas raízes diferentes, então a solução é da forma:

y = c 1 x m 1 + c 2 x m 2

Então a nossa solução é:

y = c 1 x 4 + c 2 x 2

E encontramos a solução geral!

Passo 4

Agora vamos usar nossas condições iniciais pra descobrir c 1   e   c 2 :

y 2 = 32 ,     y ' 2 = 0

Usando a primeira:

y = c 1 x 4 + c 2 x 2

y 1 = c 1 2 4 + c 2 2 2 = 32

16 c 1 + 4 c 2 = 32

E derivando y , temos:

y ' =   4 c 1 x 3 + 2 c 2 x

Substituindo a segunda condição:

y ' ( 2 ) = 4 c 1 2 3 + 2 c 2 2 = 0

32   c 1 + 4 c 2 = 0

Passo 5

Agora vamos resolver esse sisteminha aqui:

16 c 1 + 4 c 2 = 32 32 c 1 + 4 c 2 = 0

Resolvendo, encontramos:

c 1 = 16

c 2 = - 2

A solução do nosso PVI então é:

y = c 1 x 4 + c 2 x 2

y = 16 x 4 - 2 x 2

Resposta

y = 16 x 4 - 2 x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial. y ´ ´ - 2 y ´ + 10 y = 0
Em cada um dos problemas de7 a 12,encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,5 ; 1,0 ; 1,5e2,0 . (a) Useo método de Euler com h=0,025 . (b) Useo método de Euler c
Em cada um dos problemas de7 a 12,encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,5 ; 1,0 ; 1,5e2,0 . (a) Useo método de Euler com h=0,025 . (b) Useo método de Euler c
Nos Problemas 1-4, resolva a equação de Cauchy-Euler dada. x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 2 x 4 + x 2
Nos Problemas 1-4, resolva a equação de Cauchy-Euler dada. x 2 y ' ' - x y ' + y = x 3