Enunciado

Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros.

x y ' ' + y ' = x

Passo 1

E aí, tudo bem?

Pra começar, vamos resolver a equação homogênea associada, da mesma forma que resolvemos os anteriores...

x y ' ' + y ' = 0

A gente faz:

y = x m

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Passo 2

Agora a gente substitui isso na EDO:

x m m - 1 x m - 2 + m x m - 1 = 0

m 2 x m - 1 - m x x - 1 + m x m - 1 = 0

m 2 x m - 1 = 0

Daqui a gente tira que m 2 = 0 , já que x m - 1 ≠ 0 sempre.

Temos então duas soluções iguais, m 1 = m 2 = 0 . A solução da equação homogênea então é:

y G = c 1 + c 2 ln ⁡ x

Passo 3

Agora a gente vai resolver a parte não-homogênea, usando a variação de parâmetros.

Primeiro, veja que escrevendo nossa equação na forma correta, temos:

y ' ' + y ' x = '

A nossa solução tem essa forma aqui:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Onde no nosso caso temos: y 1 = 1   e   y 2 = ln ⁡ x . E...

f 1 = ∫ y 2   f ( x ) W   d x     e   f 2 = ∫ - y 1 f ( x ) W   d x

E ainda:

W = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

E f ( x ) é a parte não homogênea, no nosso caso, f x = 1 .

Bastante coisa né? Mas calma, vamos fazer cada etapa que vai dar certo!

Passo 4

Primeiro a gente vai calcular W :

W = 0 1 x 1 ln ⁡ x = - 1 x

Beleza! Agora vamos pra u 1 :

u 1 =     ∫ ln ⁡ x ⋅ 1 - 1 x d x = - 1 2 x 2 ln ⁡ x + x 2 4

E u 2 :

u 2 = ∫ - 1 ⋅ 1 - 1 x   d x =   x 2 2

Passo 5

Nossa solução particular então pode ser escrita como:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = - 1 2 x 2 ln ⁡ x + x 2 4 + x 2 2 ln ⁡ x  

=   x 2 4

E agora a solução da EDO é dada por:

y = y G + y p

y = c 1 + c 2 ln ⁡ x + x 2 4

E terminamos!! 😉

Resposta

y = c 1 + c 2 ln ⁡ x + x 2 4

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