Enunciado

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x y ' ' + 3 x y ' - 2 y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x y ' ' + 3 x y ' - 2 y = r 2 + 2 r c 0 x r - 2 + r 2 + 4 r + 3 c 1 x r - 1 + ∑ k = 2 ∞ k + r k + r - 1 c k + 3 k + r c k - 2 c k - 2 x k + r - 2 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r . ( r + 2 ) = 0

r 2 + 4 r + 3 c 1 = 0

k + r . k + r + 2 c k - 2 c k - 2 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 0 e r = - 2

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0 e r = - 2

E aí temos

c k = 2 . c k - 2 k ( k + 2 ) ,   k = 2,3 , 4 …

Então:

c 2 = 1 4 c 0

c 3 = c 5 = c 7 = … = 0

c 4 = 1 48 c 0

c 6 = 1 1152 c 0

Então, nossa solução geral é

y = c 0 . 1 + 1 4 x 2 + 1 48 x 4 + 1 1152 x 6 + …

Resposta

y = c 0 . 1 + 1 4 x 2 + 1 48 x 4 + 1 1152 x 6 + …

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