Enunciado

Nos problemas 7-10, especifique as singularidades regulares e irregulares da equação diferencial dada.

x 3 - 10 x 2 + 25 x y ' ' + y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, vamos começar escrevendo a EDO da forma “certinha”:

y ' ' + y x 3 - 10 x 2 + 25 x = 0

Fatorando...

y ' ' + y x x - 5 2   = 0

Aqui temos:

P x = 0     e     Q x = 1 x x - 5 2

Então temos os pontos x = 0 e x = 5 como singulares na equação.

Vamos classificar agora como regular ou irregular.

Passo 2

Analisando primeiro o caso x = 0 . Para ser regular, é necessário que existam os limites:

lim x → 0 ⁡ x   p x

lim x → 0 ⁡ x 2 q   ( x )

Temos:

lim x → 0 ⁡ x   p x =   0

lim x → 0 ⁡ x 2 1 x x - 5 2 =   0  

Os limites existem, então esse é um ponto regular!

Passo 3

Agora vamos ver o ponto x = 5 :

lim x → 5 ⁡ x - 5 ( 0 ) = 0

lim x → 5 ⁡ x - 5 2 1 x x - 5 2 = 1 5

E os limites existem, então dois pontos são regulares 😉

Resposta

Singularidade regular em x = 0 e em x = 5 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere a equação diferencial y ' ' + α x s y ' + β x t y = 0 em que α≠0 e β≠0 são números reais, e s e t são inteiros positivos, arbitrários por enquanto. (a) Mostre que, se s1 ou t2 , então o pont
(a) Mostre que ( ln ⁡ x ) y ″ + 1 2 y ' + y = 0 tem um ponto singular regular em x=1 . (b) Determine as raízes da equação indicial em x=1 . (c) Determine os três primeiros termos não nulos na série ∑
Em cada um dos problemas de 13 a 17: (a) Mostre que x=0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada. (b) Encontre os expoentes no ponto singular x=0 . (c) Encontre os três primeiros termos
Em cada um dos problemas de 13 a 17: (a) Mostre que x=0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada. (b) Encontre os expoentes no ponto singular x=0 . (c) Encontre os três primeiros termos
Em cada um dos problemas de 13 a 17: (a) Mostre que x=0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada. (b) Encontre os expoentes no ponto singular x=0 . (c) Encontre os três primeiros termos