Enunciado

Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros.

x 2 y ' ' - x y ' + y = 2 x

Passo 1

E aí, tudo bem?

Pra começar, vamos resolver a equação homogênea associada, da mesma forma que resolvemos os anteriores...

x 2 y ' ' - x y ' + y = 0

A gente faz:

y = x m

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Passo 2

Agora a gente substitui isso na EDO:

x 2 m m - 1 x m - 2 - x m x m - 1 + x m = 0

m 2 x m - m x m - m x m + x m = 0

x m m 2 - 2 m + 1 = 0

Daqui a gente tira que m 2 - 2 m + 1 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre.

Temos duas soluções iguais pra essa equação: m 1 = m 2 = 1     . A solução da equação homogênea então é:

y G = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x

Passo 3

Agora a gente vai resolver a parte não-homogênea, usando a variação de parâmetros.

Primeiro, veja que escrevendo nossa equação na forma correta, temos:

y ' ' - y ' x + y x 2 = 2 x

A nossa solução tem essa forma aqui:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Onde no nosso caso temos: y 1 = x   e   y 2 = x ln ⁡ x .

E temos que:

f 1 = ∫ y 2   f ( x ) W   d x     e   f 2 = ∫ - y 1 f ( x ) W   d x

E ainda:

W = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

E f ( x ) é a parte não homogênea, no nosso caso, f x = 2 x .

Bastante coisa né? Mas calma, vamos fazer cada etapa que vai dar certo!

Passo 4

Primeiro a gente vai calcular W :

W = 1 ln ⁡ x + 1 x x ln ⁡ x = x ln ⁡ x - x ln ⁡ x - x =   - x

Beleza! Agora vamos pra u 1 :

u 1 = ∫ x ln ⁡ x ⋅ 2 x - x   d x = - ln 2 ⁡ x

E u 2 :

u 2 =     ∫ - x ⋅ 2 x - x d x = 2 ln ⁡ x  

Passo 5

Nossa solução particular então pode ser escrita como:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = - ln 2 ⁡ x x + 2 ln ⁡ x x ln ⁡ x

= - x l n 2 x + 2 x l n 2 x

= x l n 2 x

E agora a solução da EDO é dada por:

y = y G + y p

y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + x l n 2 x

E terminamos!! 😉

Resposta

y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + x l n 2 x

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