Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1 - Capítulo 6.1 - Ex. 41

Considere duas esferas concêntricas de raios r = a e r = b , a < b , como mostrado na Figura 6.2. A temperatura u ( r ) na região compreendida entre as esferas é determinada pelo problema de valor de fronteira

r d 2 u d r 2 + 2 d u d r = 0 ,     u a = u 0 ,     u b = u 1

Em que u 0   e   u 1 são constantes. Resolva essa equação.

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, a gente tem que resolver isso aqui:

r d 2 u d r 2 + 2 d u d r = 0

Vamos fazer u = r m :

u ' = m r m - 1

u ' ' = m m - 1 r m - 2

Vamos substituir isso na EDO...

Passo 2

r d 2 u d r 2 + 2 d u d r = 0

r m m - 1 r m - 2 + 2   m r m - 1 = 0

m 2 r m - 1 - m r m - 1 + 2 m r m - 1 = 0

r m - 1 m 2 + m = 0

Daqui a gente tem que m 2 + m = 0 , já que r m - 1 ≠ 0 .

E de m 2 + m = 0 temos m 1 = 0     e     m 2 = - 1 .

Passo 3

Como encontramos duas raízes diferentes ali, nossa solução geral é:

u = c 1 r 0 + c 2 r - 1

u = c 1 + c 2 r - 1

E agora vamos usar as condições iniciais para encontrar essas constantes c 1   e   c 2 .

u a = u 0

u a = c 1 + c 2 a - 1 = u 0

E u b = u 1 :

u b = c 1 + c 2 b - 1 = u 1

Isolando:

c 1 = u 0 - u 1 b - a     e   c 2 = u 1 b - u 0 a b - a

Então:

u r = u 0 - u 1 b - a + u 1 b - u 0 a b - a   r - 1

E terminamos! 😉

Resposta

u r = u 0 - u 1 b - a + u 1 b - u 0 a b - a   r - 1

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