Enunciado

Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros.

x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = x 3 ln ⁡ x

Passo 1

E aí, tudo bem?

Pra começar, vamos resolver a equação homogênea associada, da mesma forma que resolvemos os anteriores...

x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0

A gente faz:

y = x m

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Passo 2

Agora a gente substitui isso na EDO:

x 2 m m - 1 x m - 2 - 2 x m x m - 1 + 2 x m = 0

m 2 x m - m x m - 2 m x m + 2 x m = 0

x m m 2 - 3 m + 2 = 0

Daqui a gente tira que m 2 - 3 m + 2 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre.

Temos duas soluções diferentes pra essa equação: m 1 = 1   e   m 2 = 2     . A solução da equação homogênea então é:

y G = c 1 x + c 2 x 2

Passo 3

Agora a gente vai resolver a parte não-homogênea, usando a variação de parâmetros.

Primeiro, veja que escrevendo nossa equação na forma correta, temos:

y ' ' - 2 x y ' + 2 y x 2 = x ln ⁡ x

A nossa solução tem essa forma aqui:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Onde no nosso caso temos: y 1 = x   e   y 2 = x 2 .

E temos que:

f 1 = ∫ y 2   f ( x ) W   d x     e   f 2 = ∫ - y 1 f ( x ) W   d x

E ainda:

W = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

E f ( x ) é a parte não homogênea, no nosso caso, f x = x ln ⁡ x .

Bastante coisa né? Mas calma, vamos fazer cada etapa que vai dar certo!

Passo 4

Primeiro a gente vai calcular W :

W = 1 2 x x x 2 = x 2 - 2 x 2 = - x 2

Beleza! Agora vamos pra u 1 :

u 1 = ∫ x 2 ⋅ x ln ⁡ x - x 2   d x = ∫ - x ln ⁡ x   d x = - 1 2 x 2 ln ⁡ x + x 2 4

E u 2 :

u 2 =     ∫ - x ⋅ x ln ⁡ x - x 2 d x = ∫ ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x - x  

Passo 5

Nossa solução particular então pode ser escrita como:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = - 1 2 x 2 ln ⁡ x + x 2 4 x + x 2 x ln ⁡ x - x

= - 1 2 x 3 ln ⁡ x + x 3 4 + x 3 ln ⁡ x - x 3

= - 3 4 x 3 + 1 2 x 3 ln ⁡ x

E agora a solução da EDO é dada por:

y = y G + y p

y = c 1 x + c 2 x 2 - 3 4 x 3 + 1 2 x 3 ln ⁡ x

E terminamos!! 😉

Resposta

y = c 1 x + c 2 x 2 - 3 4 x 3 + 1 2 x 3 ln ⁡ x

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