Enunciado

Nos problemas 43-45, resolva a equação diferencial dada.

x + 2 2 y ' ' + x + 2 y ' + y = 0

Passo 1

Opa! Como vai?

A gente quer resolver essa EDO aqui:

x + 2 2 y ' ' + x + 2 y ' + y = 0

Vamos fazer a substituição t = x + 2 .

Aí teremos:

t 2 y ' ' + t y ' + y = 0

E as derivadas:

d y d x = d y d t ⋅ d t d x = d y d t

E daí teremos:

d 2 y d t 2 = d 2 y d t 2

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir isso na EDO e ver no que dá:

t 2 y ' ' + t y ' + y = 0

Fazendo agora y = t m , temos:

y ' = m t m - 1

y ' ' = m m - 1 t m - 2

Substituindo:

t 2 m m - 1 t m - 2 + t m t m - 1 + t m = 0

m 2 t m - m t m + m t m + t m = 0

t m m 2 + 1 = 0

Show! Nossa equação auxiliar então é:

m 2 - 3 m - 4 = 0

Passo 3

Agora a gente resolve essa equação e encontra:

m 1 = i     e     m 2 = - i

A solução geral então é:

y = c 1 cos ⁡ ln ⁡ t + c 2 sen ⁡ ln ⁡ t

E como t = x + 2 , temos:

y = c 1 cos ⁡ ln ⁡ | x + 2 | + c 2 sen ⁡ ln ⁡ | x + 2 |

E prontinho! 😉

Resposta

y = c 1 cos ⁡ ln ⁡ | x + 2 | + c 2 sen ⁡ ln ⁡ | x + 2 |

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