Enunciado

Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros.

2 x 2 y ' ' + 5 x y ' + y = x 2 - x

Passo 1

E aí, tudo bem?

Pra começar, vamos resolver a equação homogênea associada, da mesma forma que resolvemos os anteriores...

2 x 2 y ' ' + 5 x y ' + y = 0

A gente faz:

y = x m

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Passo 2

Agora a gente substitui isso na EDO:

2 x 2 m m - 1 x m - 2 + 5 x m x m - 1 + x m = 0

2 m 2 x m - 2 m x m + 5 m x m + x m = 0

x m 2 m 2 + 3 m + 1 = 0

Daqui a gente tira que 2 m 2 + 3 m + 1 , já que x m ≠ 0 sempre.

Temos duas soluções diferentes pra essa equação: m 1 = - 1 2     e   m 2 = - 1 . A solução da equação homogênea então é:

y G = c 1 x - 1 2 + c 2 x - 1

Passo 3

Agora a gente vai resolver a parte não-homogênea, usando a variação de parâmetros.

Primeiro, veja que escrevendo nossa equação na forma correta, temos:

y ' ' + 5 y ' 2 x + y 2 x 2 = 1 2 - 1 2 x

A nossa solução tem essa forma aqui:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Onde no nosso caso temos: y 1 = x - 1 2   e   y 2 = x - 1 .

E temos que:

f 1 = ∫ y 2   f ( x ) W   d x     e   f 2 = ∫ - y 1 f ( x ) W   d x

E ainda:

W = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

E f ( x ) é a parte não homogênea, no nosso caso, f x = 1 2 - 1 2 x .

Bastante coisa né? Mas calma, vamos fazer cada etapa que vai dar certo!

Passo 4

Primeiro a gente vai calcular W :

W = - 1 2 x - 3 2 - x - 2 x - 1 2 x - 1 = - 1 2 x - 5 2 + x - 5 2 = 1 2 x - 5 2

Beleza! Agora vamos pra u 1 :

u 1 =     ∫ x - 1 ⋅ 1 2 - 1 2 x 1 2 x - 5 2 d x =   2 5 x 5 2 - 2 3 x 3 2

E u 2 :

u 2 = ∫ - x - 1 2 ⋅ 1 2 - 1 2 x 1 2 x - 5 2   d x = 1 2 x 2 - 1 3 x 3

Passo 5

Nossa solução particular então pode ser escrita como:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = 2 5 x 5 2 - 2 3 x 3 2 x - 1 2 + x - 1 1 2 x 2 - 1 3 x 3

y p = - 1 6 x + 1 15 x 2  

E agora a solução da EDO é dada por:

y = y G + y p

y = c 1 x - 1 2 + c 2 x - 1 - 1 6 x + 1 15 x 2

E terminamos!! 😉

Resposta

y = c 1 x - 1 2 + c 2 x - 1 - 1 6 x + 1 15 x 2

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