Enunciado

Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros.

x y ' ' - 4 y ' = x 4

Passo 1

E aí, tudo bem?

Pra começar, vamos resolver a equação homogênea associada, da mesma forma que resolvemos os anteriores...

x y ' ' - 4 y ' = 0

A gente faz:

y = x m

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Passo 2

Agora a gente substitui isso na EDO:

x m m - 1 x m - 2 - 4 m x m - 1 = 0

m 2 x m - 1 - m x x - 1 - 4 m x m - 1 = 0

m 2 x m - 1 - 5 m x m - 1 = 0

x m - 1 m 2 - 5 m = 0

Daqui a gente tira que m 2 - 5 m , já que x m - 1 ≠ 0 sempre.

Temos então duas soluções diferentes, m 1 = 0     e   m 2 = 5 . A solução da equação homogênea então é:

y G = c 1 + c 2 x 5

Passo 3

Agora a gente vai resolver a parte não-homogênea, usando a variação de parâmetros.

Primeiro, veja que escrevendo nossa equação na forma correta, temos:

y ' ' - 4 y ' x = x 3

A nossa solução tem essa forma aqui:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Onde no nosso caso temos: y 1 = 1   e   y 2 = x 5 .

E temos que:

f 1 = ∫ y 2   f ( x ) W   d x     e   f 2 = ∫ - y 1 f ( x ) W   d x

E ainda:

W = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

E f ( x ) é a parte não homogênea, no nosso caso, f x = x 3 .

Bastante coisa né? Mas calma, vamos fazer cada etapa que vai dar certo!

Passo 4

Primeiro a gente vai calcular W :

W = 0 5 x 4 1 x 5 = - 5 x 4

Beleza! Agora vamos pra u 1 :

u 1 =     ∫ x 5 ⋅ x 3 - 5 x 4 d x =   - x 5 25

E u 2 :

u 2 = ∫ - 1 ⋅ x 3 - 5 x 4   d x = 1 5 ln ⁡ x

Passo 5

Nossa solução particular então pode ser escrita como:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = - x 5 25 + x 5 ⋅ 1 5 ln ⁡ x  

E agora a solução da EDO é dada por:

y = y G + y p

y = c 1 + c 2 x 5 - x 5 25 + x 5 ⋅ 1 5 ln ⁡ x

y = c 1 + c 3 x 5 + 1 5 x 5 ln ⁡ x

E terminamos!! 😉

Resposta

y = c 1 + c 3 x 5 + 1 5 x 5 ln ⁡ x

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