Enunciado

Nos problemas 27-28, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

(Sugestão: faça t = - x )

x 2 y ' ' + 4 x y + 6 y = 0 ,     y - 2 = 8 ;     y ' - 2 = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' + 4 x y + 6 y = 0

Vamos usar a sugestão da questão, que é fazer t = - x .

t 2 y ' ' - 4 t y ' + 6 y = 0

Fazendo y = - t m temos:

y ' = - m t m - 1

y ' ' = - m m - 1 t m - 2

Vamos substituir isso tudo na EDO então!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

t 2 - m m - 1 t m - 2 - 4 t - m t m - 1 + 6 ( - t m ) = 0

- m 2 t m + m t m + 4 m t m - 6 t m = 0

- t m m 2 - 5 m + 6 = 0

Daqui a gente tem que m 2 - 5 m + 6 = 0 , já que t m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 - 5 m + 6 = 0

m 1 = 3   e   m 2 = 2

Temos duas raízes diferentes, então a solução geral é:

y = c 1 t 3 + c 2 t 2

Voltando para x :

y = c 1 - x 3 + c 2 - x 2

y = - c 1 x 3 + c 2 x 2

Passo 4

Agora vamos usar nossas condições iniciais pra descobrir c 1   e   c 2 :

    y - 2 = 8 ;     y ' - 2 = 0

Usando a primeira condição:

y = - c 1 - 2 3 + c 2 - 2 2 = 8

8 c 1 + 4 c 2 = 8

E derivando y , temos:

y ' = - 3 c 1 x 2 + 2 c 2 x

y ' - 2 = - 3 c 1 - 2 2 + 2 c 2 - 2 = 0

= - 12 c 1 - 4 c 2 = 0

Juntando as duas condições, encontramos:

c 2 = - 2

c 1 = 6

A solução do nosso PVI então é:

y = 2 x 3 + 6 x 2

Resposta

y = 2 x 3 + 6 x 2

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