Enunciado

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

y ' ' - y = 0 ;       y 1 = cosh ⁡ x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

y ' ' - y = 0

Vamos usar a redução de ordem.

Vamos definir:

y = u x ⋅ cosh ⁡ x

Aí teremos:

y ' = u ' cosh ⁡ x + u s e n h   x

y ' ' = u ' ' cosh ⁡ x + 2 u ' s e n h x + u c o s h   x

Passo 2

Vamos jogar isso na EDO pra ver no que dá:

y ' ' - y = 0

u ' ' cosh ⁡ x + 2 u ' s e n h x + u c o s h   x - u c o s h   x = 0

u ' ' cosh ⁡ x + 2 u ' s e n h x = 0

u ' ' + 2 u ' t g h   x = 0

Agora vamos ter que fazer outra substituição...

Passo 3

Vamos lá, fazendo:

w = u '

w ' = u ' '

Teremos:

w ' + 2 w   t g h   x = 0

Resolvendo essa EDO linear:

w = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

w = e - ∫ 2 t g h   d x ∫ e ∫ 2 t g h   x   d x ⋅ 0 d x

w = e - 2 ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ∫ 0   d x

w = c 1 cosh 2 ⁡ x

Passo 4

Agora a gente vai voltar pra u :

w = u ' = c 1 cosh 2 ⁡ x

u = ∫ c 1 cosh 2 ⁡ x d x

u = 2 c 1 e - 2 x + 1 + c 2

E como y = u x ⋅ cosh ⁡ x   , temos:

y = 2 c 1 e - 2 x + 1 + c 2 ⋅ cosh ⁡ x

Fazendo c 1 = 1   e   c 2 = 0 , temos a solução:

y 2 = 2 cosh ⁡ x e - 2 x + 1

E terminamos😉

Resposta

y 2 = 2 cosh ⁡ x e - 2 x + 1

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