Enunciado

Nos problemas 41 e 42, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial dada.

41. y ' ' - y = e x 2 + 3 x . cos ⁡ 2 x

Passo 1

Então galera, assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - y = e x 2 + 3 x . cos ⁡ 2 x

m 2 - 1 = 0

E então encontramos que:

m 1 = 1

m 2 = - 1

Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

y c = c 1 e x + c 2 e - x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = e x 2 + 3 x . cos ⁡ 2 x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x , o seguinte operador anula nossa função:

D - a

No qual D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos a = 1 , então nosso primeiro operador será:

D - 1

Quando temos uma função no formato e a x x n - 1 cos ⁡ β x , o seguinte operador anula nossa função:

D 2 - 2 a D + a 2 + β 2 n

No nosso caso temos a = 1 ,   β = 2 e n = 2 , então nosso segundo operador será:

D 2 - 2 D + 5 2

Dessa forma concluímos que nosso operador total será ( D - 1 ) D 2 - 2 D + 5 2 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - y = e x 2 + 3 x . cos ⁡ 2 x

D - 1 D 2 - 2 D + 5 2 D 2 - 1 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola!

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m - 1 m 2 - 2 m + 5 2 m 2 - 1 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = 1

m 3 = - 1

m 4 = m 5 = 1 + 2 i

m 6 = m 7 = 1 - 2 i

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 x e x + e x c 4 cos ⁡ 2 x + c 5 s e n   2 x + e x c 6 x . cos ⁡ 2 x + c 7 x . s e n   2 x

y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 x e x + c 4 e x . cos ⁡ 2 x + c 5 e x . s e n   2 x + c 6 e x x . cos ⁡ 2 x + c 7 e x x . s e n   2 x

Observe que o termo c 1 e x + c 2 e - x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = c 3 x e x + c 4 e x . cos ⁡ 2 x + c 5 e x . s e n   2 x + c 6 e x x . cos ⁡ 2 x + c 7 e x x . s e n   2 x

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

y p = c 3 x e x + c 4 e x . cos ⁡ 2 x + c 5 e x . s e n   2 x + c 6 e x x . cos ⁡ 2 x + c 7 e x x . s e n   2 x

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