Enunciado

Nos problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

39. y ' ' - 4 y ' + 8 y = x 3 ,   y 0 = 2 ,   y ' 0 = 4

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - 4 y ' + 8 y = x 3

m 2 - 4 m + 8 = 0

Aplicando Bháskara teremos:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = 4 ± 16 - 4 . 1.8 2 . 1 = 4 ± - 16 2

E então encontramos que:

m 1 = 2 + 2 i

m 2 = 2 - 2 i

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:

y c = e a x c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

y c = e 2 x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = x 3

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato x n - 1 , o seguinte operador anula nossa função:

D n

No qual D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos n = 4 , logo o operador será:

D 4

Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - 4 y ' + 8 y = x 3

D 2 y - 4 D y + 8 y = x 3

D 2 - 4 D + 8 y = x 3

D 4 D 2 - 4 D + 8 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m 4 m 2 - 4 m + 8 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = 0

m 5 = 2 + 2 i

m 6 = 2 - 2 i

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = e 2 x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + c 3 + c 4 x + c 5 x 2 + c 6 x 3

Observe que o termo e 2 x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A + B x + C x 2 + D x 3

Aqui vale ressaltar que A = c 3 ,   B = c 4 ,   C = c 5   e   D = c 6 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = B + 2 C x + 3 D x 2

y p ' ' = 2 C + 6 D x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' - 4 y ' + 8 y = x 3

2 C + 6 D x - 4 B + 2 C x + 3 D x 2 + 8 A + B x + C x 2 + D x 3 = x 3

2 C - 4 B + 8 A + 6 D x - 8 C x + 8 B x - 12 D x 2 + 8 C x 2 + 8 D x 3 = x 3

Como temos uma identidade, então tiramos que:

6 D - 8 C + 8 B = 0 2 C - 4 B + 8 A = 0 8 C - 12 D = 0 8 D = 1

E disso encontramos:

A = 0

B = 3 32

C = 3 16

D = 1 8

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = e 2 x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + 3 32 x + 3 16 x 2 + 1 8 x 3

Show de bola! Conseguimos resolver nossa equação diferencial! No entanto não acabou por aqui, pois o enunciado nos deu condições iniciais para encontrarmos c 1 e c 2 . As condições são:

y 0 = 2 ,   y ' 0 = 4

Aplicando a primeira condição, teremos:

2 = c 1

Aplicando a segunda condição, teremos:

y ' = e 2 x c 1 2 cos ⁡ 2 x - 2 s e n   2 x + c 2 2 cos ⁡ 2 x + 2 s e n   2 x + 3 32 + 3 8 x + 3 8 x 2

4 = 2 c 1 + 2 c 2 + 3 32

c 2 = - 3 64

Portanto nossa solução geral tendo em vista essas condições iniciais será:

y = e 2 x 2 cos ⁡ 2 x - 3 64 s e n   2 x + 3 32 x + 3 16 x 2 + 1 8 x 3

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = e 2 x 2 cos ⁡ 2 x - 3 64 s e n   2 x + 3 32 x + 3 16 x 2 + 1 8 x 3

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