Enunciado

Nos problemas 35-40, resolva a equação diferencial dada fazendo a substituição x = e t .

x 2 d 2 y d x 2 + 10 x d y d x + 8 y = x 2

Passo 1

Opa! Como vai?

A gente quer resolver essa EDO aqui:

x 2 d 2 y d x 2 + 10 x d y d x + 8 y = x 2

Fazendo a substituição x = e t :

e 2 t d 2 y d x 2 + 10 e t d y d x + 8 y = e 2 t

Agora precisamos colocar as derivadas de y em função de t também:

d y d x = d y d t ⋅ d t d x = 1 x d y d t

E daí teremos:

d 2 y d t 2 = 1 x 2 d 2 y d t 2 - d y d t

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir isso na EDO e ver no que dá:

x 2 d 2 y d x 2 + 10 x d y d x + 8 y = x 2

x 2 1 x 2 d 2 y d t 2 - d y d t + 10 x 1 x d y d t + 8 y = e 2 t

d 2 y d t 2 - d y d t + 10 d y d t + 8 y = e 2 t

d 2 y d t 2 + 9 d y d t + 8 y = e 2 t

A equação homogênea associada é:

d 2 y d t 2 + 9 d y d t + 8 y = 0

Show! Nossa equação auxiliar então é:

m 2 + 9 m + 8 = 0

Passo 3

Agora a gente resolve essa equação e encontra:

m 1 = - 1     e     m 2 = - 8

A solução geral então é:

y g = c 1 e - t + c 2 e - 8 t

Beleza, vamos pra parte não homogênea agora...

Passo 4

Bom, como a gente tem e 2 t   do outro lado, vamos chutar uma solução do tipo:

y p = A e 2 t

Aí a gente vai encontrar esse coeficiente A . Pra isso a gente tem que substituir na EDO. Vamos descobrir as derivadas:

y p ' = 2 A e 2 t

y p ' ' = 4 A e 2 t

Substituindo:

4 A e 2 t + 18 A e 2 t + 8 A e 2 t = e 2 t

30 A = 1

A = 1 30

Então...

y p = 1 30 e 2 t

Passo 5

Nossa solução então é:

y = y g + y p

y = c 1 e - t + c 2 e - 8 t + 1 30 e 2 t

E como x = e t , temos:

y = c 1 x - 1 + c 2 x - 8 + 1 30 e 2 t

e... acabamos!

Resposta

y = c 1 x - 1 + c 2 x - 8 + 1 30 e 2 t

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