Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 2 y ' ' + x y ' + 4 y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' + x y ' + 4 y = 0

(tivemos que acrescentar um x ali antes do y ' porque da forma que está no livro não dá pra resolver...)

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 y ' ' + y ' + 4 y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 + x ( m x m - 1 ) + 4 x m = 0

m 2 x m - m x m + m x m + 4 x m = 0

m 2 x m + 4 x m = 0

x m m 2 + 4 = 0

Daqui a gente tem que m 2 + 4 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 + 4 = 0

m 1 = - 2 i   e     m 2 = 2 i  

Temos duas raízes, então a solução é dessa forma:

y = x α c 1 cos ⁡ β ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ β ln ⁡ x

Onde α é a parte real e β é a parte imaginária...

Então a nossa solução é:

y = c 1 cos ⁡ ( 2 ln ⁡ x ) + c 2 sen ⁡ ( 2 ln ⁡ x )

E pronto! 😉

Resposta

y = c 1 cos ⁡ ( 2 ln ⁡ x ) + c 2 sen ⁡ ( 2 ln ⁡ x )

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14. Complete os cálculos que levam aos elementos nas colunas três e quatro da tabela 8.1 . 2